الخلفــية التاريخية لالأكاونت الكسرات وبعض تطبيقاته الفــيزيائية

يقدم هذا الفصل بعض النظريات الأساسية للتحليل المعلن “دالة جامـــا” والتــي تستخدم فــي هذه الأطروحة. لمزيد مـــن التفاصيل؛ دالات جامـــا وبيتا، ودالات ميتاج-ليفلر، ودالة رايت: تلعب هذه الدوال الدور الأكثر أهمية فــي نظرية التفاضل مـــن الدرجة التعسفــية وفــي نظرية المالعودةلات التفاضلية الكسرية.
1. دالة جامـــا
لا شك أنه إحدى الدوال الأساسية لالأكاونت الكسرات هي دالة جامـــا لأويلر، والتــي تعمم العامل وتسمح لـ n بأخذ قيم غير سليمة وحتى قيم مركبة.

التعريف 1. تُعرَّف دالة جامـــا بالتكامل الــذي يتقارب فــي النصف الأيمـــن مـــن المستوى المركب Re(z) > 0. 

ومـــن بعض خصائص دالة جامـــا تحدثثل إحدى الخصائص الأساسية لدالة جامـــا فــي أنها تلبي المالعودةلة الوظيفــية والتــي يمكن إثباتها بسهـــولة عن الية التكامل بالأجزاء. ومـــن الخصائص ذات الأهمية الأخرى لدالة جامـــا أنها تحتوي علــى أقطاب بسيطة عند النقاط
2. المشتق الكسري لكابوتو
إن النمذجة الرياضية القائمة علــى النمـــاذج الرومدخولية المحسنة تؤدي بطبيعة الحال إلــى مالعودةلات تفاضلية مـــن الدرجة الكسرية – وإلــى مـــن الضروري صياغة الشروط الأولية لمثل هذه المالعودةلات. تتطلب المشاكـــل التطبيقية تعريفات للمشتقات الكسرية التــي تسمح يتم استخدام الشروط الأولية القابلة للتفسير فــيزيائيًا. وعلــى الرغم مـــن حقيقة أنه مشاكـــل القيمة الأولية مع مثل هذه الشروط الأولية يمكن حاليةا بنجاح رياضيًا، فإن حلواليةا عديمة الفائدة عمليًا لأنه لا يوجد تفسير فــيزيائي معروف لمثل هذه الأنهواع مـــن الشروط الأولية. تم اقتراح حل معين اليةذا الصراع مـــن قبل M. Caputo أولاً فــي ورقته وبعــد عامين فــي كتابه الشهير “حل المالعودةلات التفاضلية الكسرية”. ويمكن كتابة تعريف كابوتو علــى الية كسري كمـــا ذكر فــي الكتاب.

الميزة الرئيسية لمـــنهج كابوتو هي أنه الشروط الأولية للمالعودةلات التفاضلية الكسرية مع مشتقات كابوتو تأخذ نفس الشكـــل كمـــا هـــو الحال بالالنسبة للمالعودةلات التفاضلية مـــن الدرجة السليمة، أي تحتوي علــى قيم حدية للمشتقات مـــن الدرجة السليمة للوظائف غير المعروفة عند الطرف السفلي t = a.
3. طرق أخرى لحل المالعودةلات مـــن الدرجة الكسرية
فــي هذا البند، يحصل وصف بعض الطرق التحليلية الإضافــية لحل المالعودةلات التفاضلية والتكاملية مـــن الدرجة الكسرية، وهي اليةة سلسلة القوى، واليةة التحلل الأدومي.
أولا : اليةة سلسلة القوى
اليةة سلسلة القوى هي الاليةة الأكثر شفافــية لحل المالعودةلات التفاضلية والتكاملية الكسرية. فكرة الاليةة هي محاولة البحث عن الحل فــي شكـــل سلسلة قوى وضروري إختيار قيمة السلسلة مرة أخرى.
فــي بعض الأحيان يحدث مـــن الممكن إيجاد التعبير العام للمعاملات، وفــي أحيان أخرى يحدث مـــن الممكن فقط إيجاد علاقة التكرار للمعاملات. وفــي كـــلتا الحالتــين، يمكن الأكاونت الحل تقريبًا كمجموع جزئي للسلسلة. وهذا يفسر سبب استخدام اليةة سلسلة القوى بشكـــل متكرر لحل المشكـــلات التطبيقية.
العيب الكبير فــي اليةة سلسلة القوى هـــو أنها تتطلب توسيع سلسلة القوى لكل الدوال المعروفة (المعطاة) والمعاملات غير الثابتة التــي تظهر فــي المالعودةلة الكسرية؛ ومع ذلك، فــي المشكـــلات الحقيقية، غالبًا مـــا تكون الدوال المعروفة والمعاملات غير الثابتة نتيجة للقياسات وفــي مثل هذه الحالات تكون توسيعات سلسلة القوى المعلنـــة بهـــا غير متاحة.
مـــن ناحية أخرى، تجد هناك مشاكـــل مهمة تؤدي إلــى مالعودةلات تفاضلية وتكاملية كسرية غير خطية أو إلــى مالعودةلات مـــن الدرجة الكسرية ذات معاملات غير ثابتة. والتــي لا يمكن حاليةا فــي الظل الحاضر إلا بمساعدة اليةة سلسلة القوى.
دعونا نفكر فــي عدة أمثلة لاستخدام اليةة سلسلة القوى.

ثانيا : اليةة تحلل أدوميان
تعتبر هذه الاليةة الأكثر أهمية لوصف العديد مـــن المشاكـــل فــي تطبيقات الصناعة والطب. علاوة علــى ذلك، يمكن حل العديد مـــن المالعودةلات التفاضلية والتفاضلية الجزئية بواسطة اليةة تحلل أدوميان.

و مسح لتطبيقات الأكاونت الكسري يحصل تقديم مسح لتطبيقات الأكاونت الكسري فــي مختلف مجالات العلوم. يمكن اعتبار هذا المسح مسحًا سريعًا، ولتكلة مـــن التطبيقات النموذجية التــي يمكن استخدامها لمزيد مـــن التطورات يتم استخدام القياسات فــي الوصف الرياضي للمشاكـــل الحقيقية الناشئة فــي مجالات مختلفة مـــن العلوم.

وكمثال مالعودةلات انتشار الكسري يعد نمذجة انتشار فــي نوع معين مـــن الوسائط المسامية (فــي الوسائط الكسرية) أحد أهم تطبيقات المشتقات مـــن الدرجة الكسرية. يرتبط ترتيب المالعودةلة الناتجة بمـــا يسمى البعــد الكسري للمـــادة المسامية لوصف عمليات انتقل فــي الكسور. تكون المالعودةلة الحاكمة بجدير بالذكر J (t) هـــو التدفق الكـــلي من خلال البعــد الكسري، وX(t) هي القوة الدافعة المحلية، وL ثابت، وd هـــو البعــد الكسري والعلاقة قانون ضرب كميتين فــيزيائيتين ليحدث الناتج الكمية الأخيرة كمـــا هـــو الحال فــي القانون العام للغازات.

أيضا مشاكـــل التدفق البسيطة مـــن العديد مـــن مشاكـــل التدفق فــي فرع ميكانيكا الموائع، وتضيف مالعودةلات التفاضل الكسرية بالاضافة لذلك إلــى المشاكـــل الأساسية مثل مالعودةلات الزخم الكسري N-S التــي يمكن إالعودةة كتابتها بالشكـــل القادم نحصل علــىها مـــن قانون الحركة جدير بالذكر u وv همـــا مكونا السرعة العمودية و “ايتا” هـــو معامل اللزوجة الديناميكي.
كمـــا أنه مالعودةلة انتشار مع مصطلح التفاعل هي مالعودةلة تفاضلية جزئية تنمذج توزيع الأنهواع الكيميائية التــي تخضع للانتشار وتتفاعل كيميائيًا. يمكن كتابة الشكـــل العام اليةذه المالعودةلة علــى الية جدير بالذكر تركيز الأنهواع و معامل انتشار هـــو مصطلح التفاعل الــذي يصف معدل التفاعلات الكيميائية لذلك، يمكن كتابة مالعودةلة تدفق الغاز الطبيعي أحادي الطور الكسري فــي نموذج الوسائط المسامية.

3. تحويل كسري حديث وحل تحليلي لتدفق طبقة حدودية كسرية فوق صفــيحة رأسية لا نهائية

مـــن السليم أنه المالعودةلات التفاضلية الكسرية قد جذبت العديد مـــن الاهتمـــام وتم استخدامها علــى نطاق واسع فــي االيةندسة والفــيزياء والكيمياء والأحياء وبغيرها مـــن المجالات  يعتمد تدفق الطبقة الحدودية الكسرية فوق صفــيحة رأسية رياضيًا علــى انتقال الكتلة والزخم فــي تدفق الطبقة الحدودية الثابتة بالصفــيحية للسائل اللزج غير القابل للضغط. وكمـــا أوضح إي. بواليةاوزن ، تم تقديم دالة تدفق تلبي مالعودةلة الاستمرارية أولاً، كمـــا تم استخدام تحويلات التشابه لتحويل مالعودةلات التفاضل الجزئية الحاكمة إلــى مالعودةلة تفاضلية العودةية. تُستخدم اليةته علــى نطاق واسع فــي نظرية الطبقة الحدودية للعديد مـــن المؤلفــين ومع ذلك، تمت مـــناقشة التدفق فوق صفــيحة رأسية ببدون تدرج الضغط فــي ظل مبكر بواسطة بلاسيوس ، وتم مؤخرًا الحصول علــى حل تحليلي مغلق لمالعودةلة بلاسيوس بواسطة جيه تشنغ وآخرون .
مـــن ناحية أخرى، يحصل تقديم اليةة سلسلة القوة الكسرية بشكـــل شائع لحل المالعودةلات التفاضلية الكسرية . استنتج ك. باراند وآخرون حلاً تقريبيًا لتدفق الطبقة الحدودية بالصفــيحية مـــن خــلال اليةة مجموعةية يتم استخدام التوسع التسلسلي. 

أخيرًا، درس م. بان وآخرون توزيع السرعة لمالعودةلة طبقة الحدود الكسرية الفضائية غير الخطية مـــن خــلال تحليل التناظر.
فــي هذا البند، نحل تدفق طبقة الحدود الرقائقية الكسرية لسائل لزج غير قابل للضغط فوق صفــيحة رأسية يتم استخدام اليةة سلسلة القوى الكسرية المتعلقة بتحويلات التشابه المحللة. يتوفر تعريف مشتقات كابوتو الكسرية فــي كتب الرياضيات البحتة، تحدث مـــناقشة تدفق طبقة الحدود الرقائقية الكسرية لسائل لزج فوق صفــيحة رأسية لا نهائية مـــن خــلال تحويلات التشابه والمشتقات الكسرية. يسعدنا أنه نستعرض لكم تحويلًا كسريًا حديثًا لانتقال المالعودةلة التفاضلية الجزئية إلــى مالعودةلة تفاضلية العودةية ذات سياق كسري. علاوة علــى ذلك، استخدمـــنا حلاً تحليليًا يعتمد علــى تقنية سلسلة القوى الكسرية لحل هذه المشكـــلة. يحصل رسم توزيعات السرعة مع متغير التشابه بقيم مختلفة مـــن الترتيب الكسري لتوضيح تأثيرات الحجة الكسرية علــى سلوك السرعة. وأخيرا النموذج الفــيزيائي يفترض وجود سائل لزج علــى مساحة غير محدودة وهذا مـــن النمـــاذج التى يمك حاليةا بأحد الاليةتين السابقتين أولا وثانيا وتؤدي إلــى نتيجة يمكن ‘ادة نشرها فــي المجلات العلمية الحديثة وشكرا.

أتمـــني للكل دوام النجاح والتوفــيق