الجبر المجرد العام – Twice

مـــنذ الأيام قدمـــاء ّ ّ تعريف الرياضيات مـــن جدير بالذكر جها الاستنتاجي ً لم يتغير الإغريق، مرورا ً مـــن مفاه بالرياضيين العرب الكبار، وحتى الأيامـــنا هذه، إذ ترتكز الرياضيات ببناء نظريات بدءا يم أساسية موثقه علــى المحاكمة المـــنطقية فقط. لقد كانت تتباين درجة وضوح وجلاء هذا المسعى ا الموضوع الــذي ترتكز حوالية أو تبنى علــىه ّ باختلاف الأشخاص والأزمـــنة إلاّ أا لم تتغير فــي طبيعتها. أم المحا ّ ً كمة الرياضية فهـــو بحد ذاته اليةةي ، ْ إذ يكفــي أنه يتقبل هذا الموضوع المحاكمة المـــنطقية أسلوبا للمعالجة و ّ أنه يثير اهتمـــام الرياضي -أو مـــن يعمل هذا الأخير لالأكاونته – حتى يولد فصل حديث فــي الرياضيات. ر النقطة الماضية است ّ تبر عمـــال ّ الرياضي إلــى سعي هذه ً ات المتزايد فــي العلوم الأخرى، نظرا ُ الأخيرة وراء الدقة، و وراء بناء نظريات علــى أسس مح كمة. هذا ولقد أصبح تصور العديد مـــن ً بل مستحيلاً فــي عصرنا الراهن. ً جدا ً صعبا ة الطبيعية أمرا ّ ة خارج بيئتها الرياضي ّ الاتجاهات العلمي لقد بنينا كتاب م للالجبر هذا ّ فــي هذا العلم المعارف الأساسية قارئ بعضليقد ، وليطلعه علــى المفاهيم الجبرية اللازمة لدراسته اللاحقة ق ّ ، وذلك بدون إسراف فــي التعم ، وبدون إجحاف بحق ً لا كل الطلبة اليةا أمرا ّ دنا الكتاب بالعديد مـــن التمـــارين التــي نرى حل ّ ّمة. ومـــن ناحية أخرى، زو المـــادة المقد غنى عنه لضمـــان استيعابه للمـــادة كل الطلبة يجد فــي ّ ، كمـــا عرضنا مقترحات حلولٍ اليةذه التمـــارين لعل ذلك فائدة. ل، و إلــى جزأين ذا الكتابهقسمـــنا لقد و ّ ّصنا الأو خص لتقديم المفاهيم الأساسية فــي الجبر د ّ و ،ار ب ّ معتمدين فــي التحديد المـــادة المقدمة علــى حاجات كل الطلبة ّ جعلنا الثاني يهتم ،الجبر الخطّي ّ فــي دراسته تعقيد الخوارزميات، وسيحتاج إلــى بنى جبري ّعة، فهـــو سيحتاج إلــى بعض طرائق العد المتوق ة ة ّ مهم مثل كثيرات الحدود علــى حقول مـــنتهية فــي دراسته لنظرية كل المعلومـــات. ل ِ لنأت حيث اليوم إلــى وصف فصول ّ : الجزء الأو ّ ة فــي لغة المـــنطق يحتوي الفصل الأول علــى تذكرة بالتعاريف والرموز الأساسي المعروفة. ّ واموعات وقوانين التشكيل، بالاضافة لذلك إلــى بعض طرائق العد ّ نو دراسة فصل الثانيال يتضم ة ّ الأعداد العقدي بوصفها ة بالاضافة لذلك إلــى ّ ة أساسي ّ بنية جبري ة ّ بعــد تطبيقاا فــي االيةندسة المستوي . ويحتوي الفصل الثالث علــى دراسة البنى الجبرية الأساسية، كالزمر والحلقات، وتكلة الأعداد السليمة مثال مهم. وهي الرابع الفصل يدرسو جبر كثيرات الحدود علــى حقل تبديلي وهـــو بنية أساسية ُستأهدافكة فــي هذا الكتاب. م ّ ا الفصل أم الخامس ُ فــيـ َ د مة إلــى دراسة الحقول إذ يدرس طرائق بناء الحقول، ع ّ مقد  ة بمتحول واحد، وكذلك الحقول المـــنتهية، ّ كعلــىها ةمثلأو ْ يجري إذ حقل الكسور الالعودةي Fp إثبات وجود الحقول المـــنتهية n ووحدانيتها. فــي الختام، أشكر جزيل الشكر كـــل الزملاء والأصدقاء الــذين ساهموا فــي جعل هذا الكتاب اء أو ملاحظة ّ اء علــى أي انتقاد بن ّ يرى النور. وأشكر كذلك الزملاء والقر هذا الكتابعلــى .

+ X , ,[ ]K (و ،حلقة تبديلية (⋅ + X , ,[ ]K (فضاء شعاعي علــى K . وإذا كودنا بالكود X نصر إلــى الع (… … 0, , 0,1,) مـــن ( ) K ℕ ّ واصطلحنا أنه ( ) 0 ً للفضاء الشعاعي تكون أساسا  ( ) X n ّ فإن 0≤n … … ,0, 1,0, 1= = X الجمـــاعة (⋅ + X , ,[ ]K (علــى الحقل K عنصر ّ ّ . أي إن P كـــل K[ ] X مـــن ُ يكتب وبشكـــل وحيد :الآتيوجه علــى ال 0 k k k P a X ≥ = ∑ ً ً ّ لأنه 0 = ak بدء ا ّ و يحدث اموع مـــنتهيا مـــن حد ي الأساس ّ معين 0 . ونسم ّ ( ) n X n≥ فضاء الشعاعيلالأساس القانوني ل X[ ] K علــى K . .2-1 ملاحظات ل ّ ّنا نحصل علــى الجبر ً : إذا كودنا إلــى المتحو X الكودب T عن عوضا X فإن ً X[ ] K ّ . لقد جرت الالعودةة، أنه نكتب PQ دلالة علــى ×Q P T[ ] K عن عوضا و λP دلالة علــى P ⋅ λ فــي حالة λ Q P ) , , ( مـــن 2 . لعدم وذلك ([ ] ) K K X × وقوعإمكان . هذا ونطابق بين الحقل ّ والآخر خارجي ّ التباس بين القانونين فأحدهمـــا داخلي . K[ ] X مـــن K ⋅ = 1 1 : K[ ] X {λ λ K[ ] X ∈ K} ، الجزئي والحقل K .3-1 تعريف . ليكن 0 k k k P a X ≥ ّ قلنا إن P = 0 كان إذا .K[ ] X ً ∑ = مـــن عنصرا val(P ) = +∞ و deg (P ) = −∞ ا إذا كان ّ أم 0 =/ P ف ّ نا نعر ّ : فإن deg max : 0 (P k a ) = ∈ ≠ { ℕ k } val min : 0 ( ) { } و P k a = ∈ ≠ ℕ k ّي ونسم ( P (deg درجة كثير الحدود P. يبقى هذا التعريف فــي حالة كون K حلقة تبديلية. 274 كثيرات الحدود علــى حقل تبديلي .4-1 تعريف. إذا كان 0 k k k P a X ≥ الحد أسمينا  P ≠ 0 وكان K[ ] X ً ∑ = مـــن عنصرا d فــي حالة ( )deg = P d الح ّد الأعلــى درجة فــي P ر فــي Xd a ْطِ ي َ ُس أو الحد الم ّ قلنا إن P كثير حدود ّ P، وإذا كان 1 = ad واحدي أو . نظامي .5-1 مبرهنة. ليكن كثيرا الحدود P و Q مـــن X[ ] K : هذه الحالة. فــي التــي الحالة فــي . تقعو المساواة deg (P Q + ≤) max deg , deg ( (P Q ) ( )) Â . deg deg (P Q )≠ ( ) فــيــها يحدث يحدث التــي الحالة فــي . تقعو المساواة val(P Q + ≥) min val , val ( (P Q ) ( )) Â . val val (P Q ) ≠ ( ) فــيــها . deg (P Q P Q × = + ) deg deg ( ) ( ) Â . val(P Q P Q × = + ) val val ( ) ( ) Â الإثبات إن المعلنتين الأولى والثانية بسيطتان، والمعلنـــة الرابعة ممـــاثلة فــي إثباا للخاصة الثالثة. لنثبت ّ ّ إذن المعلنـــة الثالثة. مـــن الواضح أا سليمة إذا كان 0 = P أو 0 = Q. لنفترض إذن أنتجد هنا ّ أي إن لسنا فــي مثل هذه ا لحالات، 0 n k k k P a X = ∑ = مع 0 =/ an و 0 m k k k Q b X = ∑ = مع 0 =/ bm . ويحدث 0 k k k P Q c X ≥ p t s مع∑ = × t s p c a b + = . = ∑ يحدث أنه t s p + = و n m p + < كان إذا ّ s m > أو t n > بد فلا ّ ّ ممـــا يقتضي أنه cp = 0 . 0 = bs ومـــن ثـــم at = 0 أو يحدث أنه t s p + = و n m p + = كان إذا ّ ،s m ≥ أو t n ≥ بد فلا مو ّ ّه ضروري أنه ً s bt a = 0 . نستنتج إذن أنه َ ن ثـــم =/ s t m n ) , ) ( , ( يقتضي أيضا يحدث c a b n m n m + = ّ ، ولكن K ة ّ فهـــو حلقة تام ّ حقل تبديلي ومـــنه ، 0 ) ≠ an 0 ≠ ⇐ ≠ cn m+ (0 bm و .deg (P Q P Q × = + ) deg deg ( ) ( ) إذن ات 275 ّ عمومي ّ واضح مـــن الإثبات السابق، أنه المبرهنة الماضية تبقى سليمة فــي [ ]X A ت إذا كان .6-1 ملاحظة. َ A ْت و َ ة وتصبح خاطئة إذا ح ّ حلقة تام الحلقة A قواسم للصفر. َ ة. والعناصر القلوبة فــيــها هي إن الحلقة (× + X , ,[ ]K( ّ .7-1 نتيجة . ّ حلقة تام { }0 K أي .U X ( [ ]) 0 K K = { } الإثبات ّن الشرط فــي الحقيقة، إ 0 = PQ يكافئ ∞− = PQ( ) deg أو deg deg (P Q ) + = −∞ ( ) وذلك بمقتضى المبرهنة .5-1 ا أنه يحدث ف، ّ إم ∞− = P( ) deg) أي = P 0 ( أو أنه يحدث . ( 0 Q = أي (deg( ) Q = −∞ ّ مـــن الواضح أنه { } ⊂ K K 0 ( [ ]) X U، ومـــن ناحية أخرى يحدث كثير الحدود P مـــن جَد ِ K[ ] X ُ ً إذا و لوبا ّ وهذا يقتضي أنه َ ُ يحّق 1 = Q P كثير حدود ق Q فــي X[ ] K ق deg deg 0 (P Q ) + = ( ) .P ∈ K 0{ } أو deg( ) 0 P = ثـــم ومـــن َ .8-1 تعريف . د ليكن كثيرا الحدو 0 n k k k P a X = ∑ = و 0 m k k k Q b X = . نسمي ّ K[ ] X مـــن∑ = ناتج تركيب كثيري الحدود P و Q كثير الحدود Q P، أو( )Q P ف ب ّ العلاقة، المعر 0 n k k k P Q a Q = = ∑ ،ً فمثلاً ، ولكن ليس تبديليا ّ ّ نالتحــقق بسهـــولة أنه قانون تركيب كثيرات الحدود تكلي ّ فــي حين نجد أنه X = + 1 ) 1 (1 ّ . و نلاحظ مـــن ناحية أخرى أنه (1 ) 1 2 + = X ( ) P R Q P Q R Q + = + يبين حين فــي ، ُّ ّ المثال القادم أنه تركيب كثيرات الحدود لا يقبل التوزيع علــى الجمع مـــن اليسار ، إذ .1 1 1 2 + = X و 1) 1 ( 1 + = X 276 كثيرات الحدود علــى حقل تبديلي .9-1 تعريف : ليكن كثير الحدود 0 n k k k P a X = م ّ ∑ = مـــن X[ ] K ي التطبيق . نس 0 : , n k k k P x a x = K K → ֏ ∑ ّ . ونالتحــقق بسهـــولة أنه التابع الحدودي الموافق لكثير الحدود P : ( ) 2 ( , ) [ ] , , , , , . P Q X P Q P Q P Q P Q P P P Q P Q λ λ λ ∀ ∈ ∀ ∈ + = + × = ⋅ = = K K . K مـــن a ً ً ( ) a P كان أيا ولقد جرت الالعودةة أنه نكتب ( )a P عن عوضا ً ٍ ملاحظة أنه يمكن لتابع  حدودي مـــن المهم جد ً ا موافق لكثير حدود غير بالصفر أنه يحدث تابعا لنا كثير الحدود ّ .ً فمثلاً إذا تأم 2 صفريا ّ أنه وجدنا F2 = ℤ ℤ /2 الحقل علــى P X X = + . ∀ ∈ = x P x F2 0 =/ P لأنه مـــن الدرجة الثانية، فــي حين يحدث 0 ( ) , .2 قابلية القسمة فــي X[ ] K ّ .1-2تعريف. ة بالتعاريف العامة. ّ لنذكر فــي هذه الحالة المعلن Q P كتبناو P يقسم Q إن ّ إذا كان P و Q مـــن عنصرين X[ ] K و Q ≠ 0 قلنا. َ د جِ ُ إذا وفقط إذا و R فــي X[ ] K ق ّ ُيح = RQ P ق . وإذا كان Q P و P Q ، وجدنا λ فــي { }0 ∗ ُ يحّق λ = Q P وعندها، ق K K = َي الحدود ّ نقول إن P كثير و Q شريكان. .2-2 مبرهنة . ليكن كثيرا الحدود A و B مـــن X[ ] K مع، B ≠ 0 عندئذ . توجد ثنائية ق K K [ ] [ ] X X × مـــن وحيدة) Q R, ) ّ ُ تحق deg deg R B < و A QB R = + الإثبات ّ لاً الوحدانية .كان إذا أو لنثبت A QB R Q B R = + = + 1 1 كان ( ) R R Q Q B − = − 1 1 1 Q Q − ≠ 0 الشرط و (( ) ) يقتضي ومـــنه deg Q Q B B 1 − ≥ deg ( ) ( ) deg deg B R R ≤ − ≤ 1 max deg ,deg deg R R B 1 < لف وهذا ٌ ُ 1 = Q Q . إذن خ ّ َ و مـــن ثـــم 1 = R R . ّة القسمة فــي حلقة كثيرات الحدود 277 قابلي 277 ِ لنأت إلــى إثبات الوجود . d B = ≥ deg 0 أنه نفترض ّ ونضع 0 d k k k B b X = bp ≠ 0 سنثبت النتيجة . ∑ = مع، المطلوبة بالتدريج علــى درجة A . إذا كان 0 = A، أو كانت > d degA ة ّ وفت الثنائي ( ) = ( 0, , A R Q (الغرض.ب ً كن إذنيل n أكبر أو يساوي مجموعةا d. ولنفترض أنتجد هنا أثبتنا صحة المعلنـــة المطلوبة عند قسمة  مـــن كثيرات الحدود أي A ، التــي لا تزيد درجتها ع لى 1 − n علــى ، B . 0 ليكن n k k k A a X = . ولنعرف ّ deg A n = قّيح ُ ∑ = مـــن X[ ] K ق، 1 n n d d a A A X B b − = − ⋅ إلــى ً deg 1 A n 1 ≤ − إن ّ ، واستنادا ْ ً نجد ،ض التدريجفر ,R Q ق 1 1 زوجا ( ) ّ ُ يحق deg deg R B 1 < و A Q B R 1 1 1 = + عندئذ يحدث 1 1 n n d d a A X Q B R b  −  = + +       ة ّ , , 1 1 فتفــي الثنائي ( ) n n d d a Q R X Q R b  −  = +       لإثبات.ويحصل ا بالغرض المطلوب، نبين .3-2 مثال . فــيمـــا يلي العملية القسمة الإقليدي ّ كثير الحدود ة ل A علــى كثير الحدود B وقد فنا ّ عر 4 3 2 و A X X X X = + − + + 2 5 2 1 2 B X X = − + 2 3 1 4 3 2 2 4 3 2 3 2 2 3 2 2 2 2 5 2 1 2 3 1 2 3 8 2 2 1 4 5 8 12 4 10 2 1 10 15 5 13 4 X X X X X X X X X X X X X X X X X X X Q A B R X X X + − + + − + − + − − + + + + − ← → → ← + − − + − + − − فنكتب إذن ( ) ( ) 2 A X B X X X X = ( 4 5) 13 4 + + + − 278 كثيرات الحدود علــى حقل تبديلي إن الحلقة (× + X , ,[ ]K (. ّ .4-2 مبرهنة . ّ مثالي فــيــها مثالي رئيسي ّ ّ حلقة رئيسية. أي إن كـــل الإثبات ً ليكن I فــي ّ مثاليا X[ ] K ه . يمكن أنه نفترض أنه عن مختلف {0} ْ فــي هذه الحالة ، إذ مـــا كـــليس تجد هنا ّف ضروري إثباته، ولنعر {{ } I ∈ P P 0 : deg = {N ّ . إن N تكلة جزئية غير خفيه فــي ُ يحّق 0P فــي { }0 I ق .ً ونجد ً أصغريا ℕ فتقبل إذن عنصرا deg min deg : 0 P0 = { P P ∈ I { }} 0 0 بالطبع لدينا الاحتواء { } . I ⊃ ∈ = PQ Q: [X] [X] K K P ( ) فــي) Q R, ) ، نجد I ً 2 وبالعكس، إذا كان P مـــن عنصرا ُ يحّق ق K[ ] X P QP R = +0 deg deg R P < 0 و 0P. إذن 0 − = QP P R ينتمي إلــى I فإذا كان ، 0 =/ R تعريف ناقض ذلك ولكن ّ نكون قد أثبتنا أنه I[ ] = K0 X P، والمثالي I مثالي .ف P P X ∈ 0K[ ] ومـــنه 0 = R رئيسي. 0P أي يوجد ينشريك λ فــي و P كان P X P X K K [ ] [ ] = 0 كان إذا . ملاحظة .5-2 ∗ . P P = λ 0 ُ يحّق K ق ً قابلية القسمة فــي حلقة رئيسية بو لقد درسنا سابقا ج مـــنا العديد مـــن التعاريف. ّ ه عام وقد سنعود للتذكير ا فــي الحالة المعلنـــة الموافقة للحلقة الرئيسية X[ ] K . مضاعف P إن نقول . ّ K[ ] X نم A A A 1 2 , , , … n .6-2 تعريف. لتكن كثيرات الحدود n … A A A , , , 2 1 مشترك بسيط ر ، لكثيرات الحدود ،أو أصغ إذا كان : 1 [ ] [ ] n i i P X A X ⋅ = K = ∩ K ( ) حين ونكتب ئذ P A A A ∈ Lcm , , , 1 2 … n . n … A A A , , , 2 1 لكثيرات الحدود ّ ونقول إن Q قاسم مشترك أعظم إذا كان : 1 2 [ ] [ ] [ ] [ ] Q X A X A X A X K K K = + + + ⋯ nK . Q A A A ∈ Gcd , , , ( 1 2 … n وكذلك نكتب عندئذ ( ّة القسمة فــي حلقة كثيرات الحدود 279 قابلي ا ّ ( ) موعتينا مـــن كـــل عناصر كانت ٍ لـم Lcm , , , A A A 1 2 … n Gcd , , , (A A A 1 2 … n و ( متناسبة (انظر الملاحظة .5-2) ي المضاعف المشترك الأصغر ل ّ فإننا نصطلح أنه نسم كثيرات الحدود 1 2 , , , A A A … n n … 2 1 A A A , , , Lcm العنصر الواحدي أوالنظامي فــي اموعة ( ) ونكود إليه ( ) بالكود 1 2 lcm , , , A A A … n ّي القاسم المشترك الأعظم . وكذلك نصطلح أنه نسم كثيرات ل الحدود 1 2 , , , A A A … n ذلك العنصر الواحدي أو النظامي فــي اموعة الوحيد ( ) Gcd , , , A A A 1 2 … n . gcd , , , (A A A 1 2 … n ونكود إليه بالكود ( .عندئذ K[ ] X مـــن A A A 1 2 , , , … n .7-2 مبرهنة . لتكن كثيرات الحدود ( ) ( ( )) 1 2 1 2 lcm , , , lcm ,lcm , , A A A A A A … n = … n ( ) ( ( )) gcd , , , gcd , gcd , , A A A A A A 1 2 … n = 1 2 … n ّن n … , , , 2 1 A A A كثيرات حدود ة فــيمـــا بينها ّ .8-2 تعريف . نقول إ لي ّ أو إذا وفقط إذا كان ( ) gcd , , , 1 A A A 1 2 … n = ّ لاحظ أنه هذا يكافئ قولنا 1 2 [ ] [ ] [ ] [ ] K K K X A X A X A X = + + + ⋯ nK المساواة ق K[ ] X مـــن P P P 1 2 , , , … n ّ وهذا بدوره يكافئ كثيرات حدود وجود ُ تحق 1 1 n i i i A P = ∑ = يسمى هذا التكافؤ مبرهنة Bézout . .9-2 مبرهنة كن تل كثيرات الحدود A و B و C مـــن X[ ] K كان . إذا | BC A وكان A و C ّين فــيمـــا بينهمـــا أولي كان B A . Bi و A ليين فــيمـــا و كان K[ ] X مـــن حدود كثيرات B B B 1 2 , , , … n إذا كانت A و ّ أو ً كان بينهمـــا ℕn أيا i مـــن كان ، 1 gcd( , ) 1 n i i A B = . ∏ = n … , , , 2 1 B B B مـــن كثيرات حدود X[ ] K ّ . نفترض أنه كثيرات الحدود لتكن A و ّ ة فــيمـــا بينها مثنى مثنى، وأنه , , , 2 1 ّ B B B … n لي ّ | أو B A i ً كان ℕn أيا i مـــن عندئذ ، يحدث 1 n i i B A =    ∏      . 280 كثيرات الحدود علــى حقل تبديلي الإثبات إذا كان A و C ي حدود َ ّين فــيمـــا بينهمـــا، وجدنا كثير 2P ُيحققان مساواة بيزو 1P أولي و . A B نجد A BC | لأنه و BCP BAP B 1 2 + = ، ومـــنه CP AP 1 2 + = 1 يجري إثبات المعلنـــة بالتدريج علــى n. لنثبت صحتها فــي حالة 2 = n. ( ) ( ) 1 1 1 1 1 2 2 2 2 2 , [ ], 1 , [ ], 1 P Q X P A Q B P Q X P A Q B ∃ ∈ + = ∃ ∈ + = K K فنا AP B B Q + = 1 2 1 ً ّ ينبو بطرف، ضرب العلاقت د نج طرفا وقد عر P P B Q P B Q P P A = + + 1 2 2 2 1 1 1 2 و Q Q Q = 1 2 ّ أي إن A و 2 1B B ان فــيمـــا بينهمـــا. ونترك للقارئ مهمة التعميم ّ أولي لى إ n . ً للقارئ. ً فــي حالة 2 = n، تاركين مهمة التعميم بالتدريج تمرينا سنثبت المعلنـــة الأخيرة أيضا B A1 إن ّ ً إلــى المعلنـــة الأولى 1 1 = P B A إذن واستنادا ، B B P 2 1 1 فــيمـــا ان B2 وB1 و ّ أولي إذن ،بينهمـــا B P 2 1 .( ) B B A 1 2 أو A B B P = 1 2 2 أنه إذن نستنتج ، ّ P B P 1 2 2 = ومـــنه ُ يحّق =/ a b. وليكن m n ) , ( مـــن 2∗ .10-2 نتيجة . ليكن a و b عنصرين مـــن K قان .ℕ عندئذ يحدث gcd ( ) ,( ) 1 ( ) n m X a X b − − = الإثبات ّن لاً أ ّ لأنه وذلك gcd , 1 (X a X b − − =) أو نلاحظ λ λ ( ) ( ) 1 X a X b − − − = 1 حين يحدث b a λ = − قنا النقطة الثانية مـــن المبرهنة الماضية بعــد أنه نختار ّ . وإذا طب A X a = − و = ∋ ∀ − i B X b ℕm i , النقطة نفسها بعــد أنه نخ تار m وجدنا ( ) 1 ( ), gcd ً مجددا ّ ّ = − − b X a X قنا و . إذا طب , n i ( ) و = ∋ ∀ − i B X a ℕ m A X b = − وجدنا gcd ( ) ,( ) 1 ( ) n m X a X b − − = ّة القسمة فــي حلقة كثيرات الحدود 281 قابلي .11-2 خوارزمية إقليدس ُيحسب القاسم المشترك الأعظم لكثيري حدود مـــن ى K[ ] X ّ بضرورة من خلال اتباع مـــا يسم خوارزمية إقليدس ُ ِقة فــي خطوطها العريضة لتلك الخوارزمية التــي ت فــيد فــي الأكاونت القاسم المشترك ط، وهي م اب ة. ّ ً ّ . لنذكر ذه الخوارزمي الأعظم لمجموعةين سليمين، التــي درسناها سابقا تكمـــن نقطة انطلاق هذه الخوارزمية فــي الملاحظة المقبلة: مـــن) Q B A , , )كان ً أيا 3 Gcd( , ) Gcd( , ) A B A QB B = − كان ([ ] ) K X وذلك لأنه تكلة قواسم A و B هي نفسها تكلة قواسم B و − B Q A . ّ مختلفــين عن بالصفر، يمكننا أنه نفترض أنه ليكن A و B كثيري حدود مـــن X[ ] K ة الم سألة. ّ ≥ A B deg deg وذلك بدون الإخــلال بعمومي ّ ُثـــم ف المتتفيه التدريجي ّ 0≤k Rk نعر ة ( ) مـــن X[ ] K : الآتي وجهعلــى ال = 0 A R و = 1 B R . وإذا كا ن 0 = Rk وضعنا 0 = +1 Rk نضع فنا وإلاّ ّ . Rk −1Rk علــى ّ باقي القسمة الإقليدية لكثير الحدود +1Rk ه بأنه عر ّ ، أنه لنثبت، بالتدريج علــى k ≤ 1 deg deg 1 R B k k ≤ − + ّ فــي الحقيقة، إذا كان k = 1 كانت العلاقة واضحة. وإذا كانت العلاقة سليمة عند k ا أنه ، فإم ، و إمـــا أنه يحدث 0 =/ Rk ، يحدث 0 ّ تبقى العلاقة سليمة عند القيمة 1 + k ّ = Rk، َ ومـــن ثـــم إذن ، deg deg R R k+1 < k أنه مـــنه وينتج ّ ( ) deg deg 1 deg 1 1 deg 1 1 R R k+1 ≤ − ≤ − + − = − + + k B k B k والعلاقة سليمة عند القيمة 1 + k . ي ه إذا كان ّ 0 2 deg + = 0 B k كان نجم عن ذلك أنه .Rk0 = 0 أي deg 1 Rk ≤ − فــيدنا ت هذه الملاحظة بتعريف المجموعة الطبيعي N بالعلاقة N k R = ∈ ≠ max : 0 { ℕ k } علــى ً 0 = +1 RN . مـــا سبق، يحقق وهـــو، بناء 1 deg + ≤ B N، ويحدث 0 =/ RN و Qk مهمـــا يكن k مـــن ℕN نجد ُ يحّق ق R Q R R k k k k −1 = + +1 282 كثيرات الحدود علــى حقل تبديلي عمـــالوباست ّ ً المعلن نجد ة المذكورة آنفا ( ) ( ) ( ) ( ) Gcd , Gcd , Gcd , A B R R R R = 0 1 = 1 2 = = ⋯ Gcd ,0 RN فــيحدث إذن B A ) ,( gcd و RN شريكين، ونحصل علــى B A ) ,( gcd مـــن RN بقسمته علــى ً ثابت الحد الأعلــى درجة فــيــه، .ل يصبح واحديا فنا المتتاليت ّ ( ) ين عر وإذا هذا Sk 0≤ ≤k N ( ) و Tk 0≤ ≤k N بالعلاقات K[ ] X مـــن 0 1 1 1 0 1 1 1 1, 0, 0, 1, k k k k k k k k S S S S Q S T T T T Q T + − + − = = = − = = = − {0,1, , … N } مـــن k علــى بالتدريج نثبت أنه أمكننا R S A T B k k k = + أنه ّ ّ َ ، ومـــن ثـــم .R S A T B N N N = + يحدث فــيدنات مة بإعادة ّ ة المعم ّ ُ يحق قان K[ ] X مـــن V0 0U و هذه الخوارزمي ( ) U A V B A B 0 0 + = gcd , ّ نلاحظ بوجه خاص أنه مجموعة عمليات قسمة زمة لالأكاونت اللاكثيرات الحدود B A ) ,( gcd لا يزيد . min(deg , deg ) A B علــى 2 3 .12-2 مثال. ليكن و A X X = + + 1 2 K[ ] X مـــن B X = + 1 عين ، القاسم ّ أوجد D A B = gcd , ( ) الأعظم المشترك ّ ُ يحّق 0U قان ُ ، ثـــم 0V و AU BV D 0 0 + = ّا نتيجة الالأكاونت فــي الجدول القادم ن ّ لقد بيـ : 3 2 2 2 0 1 1 0 1 1 1 0 1 2 1 4 0 1 1 1 3 k R Q S T k k k k X X X X X X X X X X X + + − + + − − − − − + − − − 2 و مـــنه 1 = D و − = 0 X U و . V X X 0 = − − 1 ّة القسمة فــي حلقة كثيرات الحدود 283 قابلي ّه يوجد 0U .13-2 ةملاحظة مهم د . ليكن كثيرا الحدو A و Bمـــن { } X 0[ ] K ولنفترض أنه ُيحق 1 = + 0 0 BV AU . عندئذ يحدث و 0V قان { } { } 2 0 0 ( , ) ( [ ]) : u v X Au Bv U hB V hA h X ∈ K + = = + − ∈ 1 ( , ) : [ ] K ّ فــي الحقيقة، إن ⊂ الاحتواء تافه. كان Au Bv AU BV + = +0 0 أي Au Bv + = 1 كان إذا ،وبالعكس 0 0 ( )∗ A u U B V v ( ) ( ) − = − ولكن A مع ّ 0 أولي B و ،مـــن جهة A يقسم − ( ) v V B مـــن جهة أخرى. إذن A يقسم ( )∗ فــي وبالتعويض .v V hA = −0 ُيحق − 0 v V. أي يوجد h ينتمي إلــى X[ ] K ق . u u hB = −0 والاختصار علــى A نجد .14-2 ملاحظة. ن إذا كا Aو B عنصرين مـــن { } X 0[ ] K ، وأردنا الأكاونت B A ) ,( lcm فــيمكننا أنه نبدأ بالأكاونت ( B A (, gcd ، ثـــم نستنتج المطلوب با : المقبلة العلاقة لاستفادة مـــن . gcd , lcm ~ (A B A, B A B )⋅ ( ) ⋅ .15-2 تعريف. نقول ّ كثير الحدود إن P مـــن X[ ] K إذا وفقط ،أو غير خزول ،غير قابل للتحليل إذا كان . deg 0 P > Â . ∀ ∈ Q X Q P Q P Q K[ ], deg deg deg 0 ⇒ = ∨ = ( ) ( ) Â أو بقول آخر إذا كانت قواسم P هي عناصر ∗ . P وشركاء K ّ ينجم عن هذا التعريف أنه كثيرات الحدود مـــن الدرجة الأولى فــي X[ ] K ة، تكون غير خزول .ً ولكن العكس غير سليم عمومـــا ،K[ ] X ً .16-2 مبرهنة. ذا كان إ P كثير حدود غير خزول فــي X[ ] K وكان، A مـــن عنصرا ن ْ فتجد هناك تكافؤ بين كو الحدود اكثير A و P أوليين ن ْ فــيمـــا بينهمـــا وبين كو P لا يقسم A . الإثبات هذا سليم لأنه P A ) ,( gcd يقسم P. 284 كثيرات الحدود علــى حقل تبديلي .17-2 نتيجة . ليكن P كثير حدود غير خز ول فــي X[ ] K. إن الشرط اللازم والكافــي حتى يقسم 2P و ⋯و Pn فــي X[ ] K هـــو أنه يقسم ، P 1P و P ضرب جداء كثيرات الحدود أحدها. الإثبات 2P و ⋯و Pn كان 1P و ٍ مع كـــل مـــن كثيرات الحدود ً هذا سليم لأنه إذا كان P أوليا ً مع جدا أوليا .ء ضرا لنكود بالكود P ة وبغير الخزولة فــي ّ إلــى تكلة كثيرات الحدود الواحدي X[ ] K يحدث كـــل ف. ٍ كثير حدود غير خزول فــي X[ ] K ً لعنصر واحد شريكا و واحد فقط مـــن ، P . ً للدور الــذي ت  ؤديه تكلة الأعداد الأولية فــي ً مشاا ّؤد هذه اموعة، كمـــا سنرى، دورا ي ت . ℤ ُ يحق ق P فــي P فــيوجد 1 deg ≤ A كان إذا .K[ ] X ً .18-2 مبرهنة . ليكن A مـــن عنصرا . P A الإثبات ّلل اموعة نتأم D = ∈ {Q X Q Q A K[ ] : deg 1 ( ≥ ∧) ( )} ّن غير جزئية تكلة N = {deg : Q Q ∈ D} ، ف موعةا A ∈ D لأنه =/ ∅ D إ ∗ خفيه مـــن ُيحّق = m degQ. ً D ق ℕ ر صفاليةا أصغر عن m ≤ .1 ليكن Q مـــن عنصرا ً كثير الحدود A وذلك بمقتضى تعريف m. عندئذ يحدث Q غير خزول ل قاسمـــا .19-2 مبرهنة. ُ كتب كـــل ي  كثير حدود غير ثابت A مـــن X [ ] K K بالشكـــل 1 2 1 2 m A u P P Pm ν ν ν = ⋯ و u ∗ ν ν ν m , , , … 2 1 و ،P مختلفةعناصر مـــن مثنى مثنى P P P m , , , … 2 1 و ، ∋ K ℕ. وتكون هذه الكتابة وحيدة إذا لم نأخذ بعين الاعتبار ترتيب حدود .الضرب ∗ أعداد مـــن ّة القسمة فــي حلقة كثيرات الحدود 285 قابلي الإثبات لنثبت جزء الوجود فــي هذه المبرهنة بالتدريج علــى A deg . جدير بالذكر A u X = − ( ) β أو a ≠ 0 مع A aX b = + ، كان deg 1 A = كان إذا a u ∗ K = ∈ و b a . X − ∈ β P لأنهّ − = β الإثباتيحصل ف ، لنفترض صحة النتيجة المطلوبة فــي حالة كل كثير الحدود التــي لا تزيد درجاا علــى 1 − n، ) مع 0P ينتمي إلــى قتضى المبرهنة .17-2 عنصر ُ n ≤ 2 (كن . ولي A كثير حدود درجته n. يوجد بم . B ≠ 0 و deg B n < مع A BP = 0 0A P َ ، ومـــن ثـــم يحدث ُيحّق P ق ا أنه – ّ ، deg 0 B = كونيفإم َ ومـــن ثـــم B ّ ∗ K ∈ .الإثبات ويحصل ا – ّ أنه يحدث وإم B ≤ deg 1 ، ّ َ ومـــن ثـــم 1 2 1 2 m B u P P Pm ν ν ν ً ⋯ = وذلك استنادا ْض التدريج، إذن 2 1 إلــى فر 0 1 2 m A u P P P Pm ν ν ν ً ⋯ = فــي هذه الإثبات، ويحصل أيضا الحالة. ة التفريق السابق غير سليم، عندئذ يمكننا أنه نجد كثير ّ ّ لنفترض أنه الجزء المتعلّق بوحداني ّ حدود Aɶ ة ويقبل تفريقين ٍ ً ً أساسيا درجته أصغري مختلفــين ترتيب حدود فــي أي ليس فقط ، اختلافا : الجداء 1 2 1 2 1 2 1 2 m k A u P P P vQ Q Q m k ν ν ν µ µ µ ɶ = ⋯ = ⋯ ُ ين الم ّ بمقارنة الحد َ س ْ ي ِ طرين فــي طرفــي المساواة 1 2 1 2 1 2 1 2 m k m k u P P P v Q Q Q ν ν ν µ µ µ أنه نجد ّ ⋯ = ⋯ Q Q Q 1 2 1 2 k k م أحد حدود سفهـــو يق = v u ّ . إن 1P كثير حدود غير خزول ويقسم الجداء µ µ µ ⋯ ّ الجداء. يمكننا إذن أنه نفترض أنه 1 1Q P ، علــى أنه نقوم بإالعودةة ترتيب حدود الجداء إذا دعت ّ الحاجة، ينجم عن ذلك أنه 1 2 1 1 2 1 1 2 1 2 m k B P P P Q Q Q m k ν ν − ν µ µ µ − ɶ = ⋯ = ⋯ ً يقبل إذن و ɶ فكثير الحدود B ، وهذا يناقض ɶ ɶ تفريقين مختلفــين اختلافا < B A deg deg ً أساسيا ، وينهي إثبات المبرهنة. ɶ تعريف A 286 كثيرات الحدود علــى حقل تبديلي .3 القسمة وفق القوى التي تزداد فــي X[ ] K .1-3 ةمبرهن ن . ليك n مـــن ℕ، وليكن كثيرا الحدود A و B مـــن X[ ] K مع =/ 0 (0)B. توجد فــي هذه الحالة ثنائية وحيدة R Q ) , ( مـــن × X X [ ] [ ] K K ق ُ تحق n 1 A B Q X R + degQ n ≤ و = + ّي إعادة نسم Q و R العملية القسمة وفق القوى التي تزداد ل كثير الحدود A علــى B حتى المرتبة n يهمـــا علــى التوالي ّ ، ونسم خارج و ، باقي قسمة A علــى B ، وفق القوى التي تزداد حتى المرتبة n . الإثبات ّ إذا كان .ةلنبدأ بالوحداني n 1 n 1 A B Q X R B Q X R + + = + = +ɶ ɶ degQ n ≤ و degQ n ≤ مع ɶ . أنه استنتجنا ّ 1 ( ) ( ) n B Q Q X R R + − = − ɶ ɶ يحدث ɶ إذن فــي حالة =/ R R 1 0 1 val( ( )) val( ( )) val( ) val( ) deg( ) n Q Q n X R R B Q Q B Q Q Q Q n + ≠ + ≤ − = − = + − ≤ − ≤ ɶ ɶ ɶ ɶ ɶ لف وهذا ٌ ُ َ ومـــن ثـــم = Q Q ّ خ ّ . نستنتج مـــن ذلك أنه ɶ = R R ɶ . B ≠ 0 لأنه ّ نفترض أنه لنثبت الجزء المتعلّق بالوجود بالتدريج علــى n . 0 m k k k A a X = ∑ = و 0 r k k k B b X = 0 ≠ b0 ∑ = ، مع وضعنا ،0 = n كانت إذا Â ( )(0) 0 A BQ − = ، فــيحدث Q a b = 0 0 / ّ َ ومـــن ثـــم . deg 0 Q ≤ و ،A B Q X R − = قّيح ُ ق R ويوجد X A BQ ( ) − َ Â لنفترض إ النتيجة عند ُ يحّق 1 1 ذن صحة n− ≤ 1 0 ، فــيوجد ق ) , ( Q R 1 1 n deg 1 Q n 1 ≤ − و A B Q X R = + اشتقاق كثيرات الحدود 287 287 ً إلــى صحة النتيجة عند واستنادا 0 = n ة نجد ّ R Q ) , ( ق الم  ساواةتحق 2 2 ثنائي deg 0 Q2 ≤ الشرط مع R BQ X R 1 2 2 = + ّ تنتج إذن أنه سن وهكذا n 1 A BQ X R + degQ n ≤ مع الشرط = + فنا ّ 2 1 إذ عر n .R R = 2 و Q Q X Q = + الإثبات. ّ وبذا يحصل .2-3 مثال. نجد فــيمـــا يلي مثالاً علــى العملية قسمة وفق القوى التي تزداد حتى المرتبة 3 كثير الحدودل ( ) 2 3 ( ) علــى الحدود كثير A X X X = + + 2 4 2 B X X X = + + 1 2 3 2 3 2 2 2 3 2 3 2 3 2 3 2 3 4 3 4 3 4 5 4 4 5 2 4 1 2 3 2 4 6 4 2 2 4 6 4 8 12 6 13 6 12 18 18 2 3 20 3 A X X X X B X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X Q X R + + + + − − − − − + − + + + + + + − − − ← → − → ← − − − − − ومـــنه ( ) ( ) 2 3 4 A X B X X X X X X = − + + + − − (2 4 6 ) ( 20 3 ) .4 اشتقاق كثيرات الحدود .1-4 تعريف. ن كثير الحدود ليك 0 n n n P a X ≥ . نسمي مشتق P كثير الحدود ّ K[ ] X مـــن∑ = ′P مـــن X[ ] K ف بالعلاقة ، ّ المعر 1 0 ( 1) n n n P n a X + ≥ ′ = + ∑ ونكود العودةة بالكود ( ) n ّ P ناتج اشتقاق إلــى P، n ة، أي : مر ( ) 0 ( )( 1) ( 1) n n n k n P n k n k n a X + ≥ = + + − + ∑ ⋯ 288 كثيرات الحدود علــى حقل تبديلي .2-4 ملاحظة. ز ل ّ ً إذا كان المجموعة الممي لحقل K بالصفر مساويا كانت ′P deg مساوية ّ فــي حالة أم = P 0 deg ،ا deg 1 P ≥ يحققالــذي P ً − P 1 deg ك كثير الحدود انأيا يحدثف 0 = ′P . المـــنتهي الحقل حالة فمثلاً ولكن فــي الحالة العامة يحدث − ≥ ′ P P 1 deg deg فــي يحدث Fp = ℤ ℤ /p 1 ( ) 0 p p X pX − . p p = 0 mod لأنهّ ′ = =  تلخص المبرهنة ا خواص الاشتقاق : ّ لتفيه أهم ً كان P و Q مـــن X[ ] K فلدينا .3-4 مبرهنة : أيا ( )( ) ( ) ( ) 0 ( ) ( ) ( ) ( ) n n k k n k n k P P P Q P Q P Q P Q Q PQ P Q PQ PQ C P Q λ λ − = ′ ′ = + = + ′ ′ ′ ′ ′ ′ = ⋅ ′ ′ ′ = + = ∑ الإثبات إن إثبات المعلنتين ّ و بسيط ومباشر مـــن التعريف. ً المعلنـــة لإثبات إلــى مـــا سبق أنه نالتحــقق أنه يكفــي استنادا ّ 1 1 1 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) p q p q p q p q p q p q p q X X X p q X p X X X q X X X X X + + − − − ⋅ =′ ′ = + = ⋅ + ⋅ = ⋅ + ⋅ ′ ′ تعميم المعلنـــة يمكن علــى جداء m ≤ 2 مـــن كثيرات الح دود فتصبح 1 2 1 1 1 1 ( ) m m j j j m j P P P P P P P P − + = ⋯ ′ = ∑ ⋯ ⋯ ′ ّ يكفــي أنه نثبت المعلنـــة فــي حالة k = P X، وبحذف الحالة التافهة 0 = k، تؤول 1 هذه المعلنـــة إلــى ( ) k k Q k Q Q − ا التعميم مـــن ة ′ ⋅ = ′ ّ وهذه بدورها حالة خاص لسابق. ً يمكن إثبات المعلنـــة للقارئ. بالتدريج ونترك التفاصيل تمرينا جذور كثيرات الحدود 289 .4-4 مبرهنة . مـــنشور تايلور Taylor : ز ل ّ ّ نفترض أنه لحقل K المجموعة الممي يساوي 0 . ليكن P عنصرا K . عندئذ ً مـــن كثير حدود X[ ] K وليكن a مـــن ( ) 0 ( ) ( ) ( ) ! k k k P a P X X a k ≥ = ∑ − الإثبات حالة 0 = a ا. ّ كان لـم 0 k k k P X λ ≥ ∑ = أمكننا أنه نكتب ( ) 0 ( )( 1 ) (1 ) m m m k k P λ + k m k m m X ≥ = ∑ + − + + ⋯ ّ َ ومـــن ثـــم ( )(0) ( !) m . P m = λm ز للحقل ّ المجموعة الممي ّ ولكن K يساوي 0 إذن =/ 0 ! m ، ومـــنه ( ) ( ) 0 ! m m P m λ = أي ( ) ( ) 0 0 ! k k k P P X k ≥ . = ∑ ة ّ فــيحدث Q X P X a ( ) ( ) = + العام الحالة. لنضع ( ) ( ) (0) ( ) k k ، و نستنتج Q P a = أنه ّ ( ) 0 ( ) ( ) ! k k k P a P X a X k ≥ + = ∑ أو ( ) 0 ( ) ( ) ( ) ! k k k P a P X X a k ≥ = ∑ − .5 جذور كثيرات الحدود ً K تجد هناك تكافؤ بين. .1-5 مبرهنة. ليكن P مـــنكثير حدود X[ ] K وليكن a مـــن عنصرا . P a( ) 0 = . P يقسم X a − ّ نقول فــي هذه الحالة إن a جذر أو صفر لكثير الحدود P. 290 كثيرات الحدود علــى حقل تبديلي الإثبات بإجراء قسمة إقليدية لكثير الحدود P علــى − a X نجد deg 1 R < مع P X a Q R = − + ( ) ّ نجد أنه ( ) = a P R إذن K ∈ R بالأكاونت قيمة . و التابع الحدودي السابق عند a ومـــنه .التكافؤ يثبت مـــا وهذا .P X X a Q X P a ( ) ( ) ( ) ( ) = − + ً ً ليكن k مجموعةا ً K، وأخيرا .2-5 مبرهنة : ليكن P مـــنكثير حدود X[ ] K وليكن a مـــن عنصرا مـــن ∗ ℕ تكافؤ بين تجد هناك . . 0 ( ) ≠ Q a و P X a Q = − ( )k . P يقسم لا ( ) X a − k+1 و P يقسم ( ) X a − k ّ نقول فــي هذه الحالة إن a جذر مضاعف مـــن المرتبة k . و الإثبات − a X ( ) يقسم P، ومـــن ناحية أخرى k ّ مـــن الواضح أنه ⇐ 1 Q X a Q Q a = − + ( ) ( ) 1 فإذا كان ( )k X a + ، كان P يقسم − 1 ( )k X a + ( )( ) الحدود لكثير ً − قاسمـــا k Q a X a − ّ أنه = 0 ( )a Q واستنتجنا َ مـــن ثـــم لف وهذا ٌ ُ .خ ⇐ واضح. ٌ .3-5 ملاحظة . نقول ّ إن a ً مرتبته تساوي 1 لكثير ط جذر بسي ل كثير الحدود P إذا كان جذرا 2 الحدود P. أي إذا كان − a X يقسم P و .P يقسم لا ( ) X a − .4-5 مبرهنة . ز للحقل ّ ّ نفترض أنه K المجموعة الممي يساوي ،0 وليكن P مـــنكثير حدود X[ ] K ، ً ً وليكن a مـــن ً ليكن k مـــن مجموعةا المعلن ∗ عنصرا K، وأخيرا ّ ℕ تين تجد هناك تكافؤ بين . :القادمتين a جذر مضاعف مـــن المرتبة k كثير الحدود ل P . .P a P a P a ( ) 0, ( ) 0, , ( ) 0 = = … ( 1) k− = و P a ( ) k ( ) 0 ≠ جذور كثيرات الحدود 291 الإثبات ً إلــى يحدث تايلور مـــنشوراستنادا ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 ( ) 0 ( ) ( ) ! ! n k n k n k n n k n P a P a P X X a X a X a n n − − ≥ = = − ∑ − + ∑ − افئيك ُ الشرط علــى المبرهنة ، ً بناء .2-5 الشرطين ، ( )( ) 0 k و P a ≠ 1 ( ) 0 ( )( ) 0 ! k n n n P a X a n − = ∑ − = وهذا بدوره يكافئ الشرط . .5-5 مبرهنة . ليكن P كثير حدود مـــن X[ ] K ّ ، ولنفترض أنه r … , , , 2 1 a a a عناصر مختلفة ً ّ لنفترض أنه مثنى مثنى مـــن K ai ، وأخيرا mi علــى ا جذر مـــن المرتبة ّ كثير الحدودللأقل ℕr الحدود ً i مـــن ُ P كان ، وذلك أيا كثير ُ . حينئذ يقسم ( ) 1 i r m i i X a = َ − ∏ الحدود كثير .P الإثبات ا ّ كان لـم ( ) mi X a − i ً يقسم كثير الحدود P كان ℕr أيا i مـــن ّ ولأنه ، كثيرات الحدود ( ) 1 ( )mi ة فــيمـــا بينها مثنى مثنى، وذلك بمقتضى النتيجة r i ≤ ≤− a X i ّ لي ّ أنه أو .10-2 استنتجنا ، ّ ( ) 1 i r m i i X a = − ∏ يقسم P. ّ كثير ولنفترض أنه .6-5 نتيجة . ليكن P كثير حدود مـــن X[ ] K درجته أصغر أو تساوي n ، الحدود P ُ r … a a a ً مختلفة مثنى مثنى , , , 2 1 يقبل ّ ، وأنه كـــل ai ٌ جذورا مـــن مضاعف جذر ٌ mi مرتبة أكبر أو تساوي ُ الشرط لكثير الحدود P عندئذ يقتضي ، 1 r i i m n = ∑ > َ النتيجة 0 = P. الإثبات الحدود ُ كثير ُ هذا سليم لأنه مـــن جهة أولى يقسم ( ) 1 i r m i i Q X a = َ − ∏ = الحدود كثير .deg deg Q P > لدينا ثانية جهة ومـــن ،P 292 كثيرات الحدود علــى حقل تبديلي ً .7-5 نتيجة . إذا كان P كثير حدود مـــن X[ ] K درجته n ّ ، فإن P يقبل علــى الأكثر n جذرا ،ً أي مختلفا card : 0 ({x P x n ∈ = ≤ K ( ) }) الإثبات : card( ) Z = m و Z = ∈ = {x P x K : ( ) 0} كانت إذا لأنه سليم هذا قسم ُ الحدود كثير ( ) a X a Q ∈ ∏ − = Z الحدود َ كثير P ّ ، وهذا يقتضي أنه m Q P n = ≤ = deg deg .8-5 مثال مهم .كثيرات حدود لاغرانج Lagrange لتكن 1 2 1 , , , λ λ λ n+1 2 1 , , , … ولتكن .K الحقل فــي مثنى مثنى مختلفة عناصر x x x n+ … ُ يحق عناصر مـــن K. فــي هذه الحالة يوجد كثير حدود وحيد P درجته أصغر أو تساوي n ق ( ) 1 , n i i ∀ ∈i ℕ + P x = λ الإثبات مـــن X[ ] K ، ɶ ليكن كثيرا الحدود P و P  مـــنهمـــا أصغر أو ت ساوي n ّ ولنفترض أنه درجة كـــل  وأمـــا يحققان 1 , ( ) ( ) n i i i ∀ ∈i ℕ + P x P x = = λ ɶ أصغر أو تساوي n، وهـــو يقبل 1 + n ɶ عندئذ تكون درجة كثير الحدود = − Q P P ً جذرا ،ً وعلــى هذا جِ مختلفا 0 = Q أي = ɶ P P َد. ُ . وهذا يثبت وحدانية كثير الحدود المطلوب إن و +1ℕn مـــن ناحية أخرى، لتكن j مـــن ّف ، ولنعر 1 { } ( ) n k j k j j k X x X x x ∈ + =    −     −  ℕ ∏   ℓ ّ وأنه نلاحظ أ deg ّن ℓ j = n ( ) 1 1 1 : ( , ) , 0 : n n j i j i i j i j x i j + + δ  =  ∀ ∈ × = =   ≠  ℕ ℕ ℓ لذا نجد بوضع 1 1 n k k k P λ + = . ℕn+1 ً i مـــن أيا وذلك كان P x( i i ) = λ أنه ّ = ∑ ℓ جذور كثيرات الحدود 293 ّي كثيرات الحدود +n ℓ ℓ … ℓ كثيرات حدود لاغرانج Lagrange الموافقة للنقاط ( , , , ) 1 2 1 نسم 1 2 1 , , , .x x x n+ … 0 = 1x و 1 = 2x و 2 = 3x مـــن ℝ هي فمثلاً للنقاط ةج الموافق كثيرات حدود لاغران 2 1 2 2 2 3 1 3 ( ) 1 2 2 ( ) 2 1 1 ( ) 2 2 X X X X X X X X X = − + = − + = − ℓ ℓ ℓ ويحدث ( ) ( ) ( ) P X X X = + + λ λ λ 1 1 ℓ ℓ ℓ 2 2 3 3 ُ ويحق كثير الحدود الوحيد فــي X[ ] ℝ الــذي لا تزيد درجته علــى 2 ق ( ) P 0 = λ1 P (2) = λ3 و P (1) = λ2 و .9-5 المث . مبرهنة ويلسون Wilson ً ليكن p ا ّ ً َ تكون . ومـــن ثـــم { }0 p p فــيحدث، مجموعةا / ً أولي ℤp ℤ = Fp تبديلي حقلاً ا ∗ F F = زمرة مجموعة عناصرها 1 − p ومـــنه 1 , 1 p a a p ∗ − ∀ ∈ F = لذلك فإن كثير الحدود ّ ( ) ( ) 1 1 1 1 p p k G X X X k − − = = − − − ∏ p مـــن [ ] ً هي عناصر ً مختلفا جذرا p − 1 يقبل Fp X ∗ ّ F ا درجة ً أم G مـــن فهي أصغر تمـــامـــا 1 − p و علــىه ضروري أنه يحدث 0 = G أي ( ) 1 1 1 1 p p k X X k − − = − = − ∏ وبوجه خاص إذا ضنا ّ عو 0 = X جدناو (p − = − 1 ! 1mod ) p ً ّ كان فإذا p كان ا ً أولي مجموعةا p ) mod1 ! 1 − = − p(. وهذه هي م برهنة ويلسون. 294 كثيرات الحدود علــى حقل تبديلي ً ℝ ليكنو ، n مـــن ∗ .10-5 محلولتمرين . ن ليك a مـــن مجموعةا ℕ والمطلوب . المالعودةلة حل ( 1 cos2 i sin 2 ) n (E ) z + = + na na بالالنسبة إلــى اهـــول z فــي ℂ داء الجج قيمة ا ، واستنت 1 0 ( ) sin n n k k P a a n π − =   = +       ∏   ،فــي الحقيقة ( ) { ( ) } { ( ) } ( ) i( ) 2 i 1 exp 2 i : {0,1, , 1} 2 i exp 2 i 1 : {0,1, , 1} 2i sin : {0,1, , 1} k a n k z a k n n k z a k n n k z a e k n n π π π π + ⇔ + ∈ + ∈ − ⇔ ∈ + − ∈ −   ⇔ ∈ + ⋅    ∈ −      E … … … ّلأنه ( ) 2i i e 1 2 i sin e θ θ θ = − كثير الحدود إذن . ليكن ( ) ( ) ( ) ( ) 1 i 2 i 0 1 2i sin n k a n na n k k Q X X e X a e n π π − + =     = + − − − +         ∏ إن 0 = Q ّ ّل ّه يقبل علــى الأق ً ودرجته أصغر أو تساوي 1 − n . ً مختلفا لأنه n جذرا وهكذا نحصل علــى المساواة ( ) ( ) ( ) 1 i 2 i 0 1 2i sin n k a n na n k k X e X a e n π π − + =     + − = − +         ∏ تعويضب ،ومـــنه 0 = X دنج، ( ) ( ) 1 1 2 i i 0 0 i i 1 2i sin exp i ( 1) 2i ( )exp 2 n n n na na k k n na n k e a e k n n n e P a π π π − − = =         − = − + ⋅ ⋅                         = −    −        ∏ ∑ وبالإصلاح نجد 1 sin ( ) 2 n n na P a − = جذور كثيرات الحدود 295 ُيحّق .11-5 مبرهنة دالمبير Alembert’D ليكن . P كثير حدود مـــن X[ ] ℂ ق ُ يحّق = 0 0 ( )z P. 0z ق مجموعة ٌ < P 0 deg عقدي حينئذ يوجد، الإثبات ً يعتمد الإثبات الــذي سنعرض ا، لذلك ا ّ ه علــى مفاهيم فــي التحليل قد لا يحدث القارئ ملم ً إياه لقراءة ثانية. يمكن للقارئ أنه يقبل النتيجة بدون إثبات، تاركا ّ لنفترض أنه =/ 0 ( )z P ً كان المجموعة أيا z مـــن ℂ ف ّ ( ) ( ) . ولنعر ( ) zP z G z P z ′ = وكذلك ( ) i h r G re , ( )θ = θ . فــيحدث i i i i ( , ) ( ), ( , ) i ( ) h h r e G re r e G re r θ θ θ θ θ θ θ ∂ ∂ = ′ = ′ ∂ ∂ أي ( ) ( ) 1 , , i h h r r r r θ θ θ ∂ ∂ = ∂ ∂ مـــن ناحية أخرى، ل ف ّ نعر 2 0 1 ( ) ( , )d 2 r h r π γ θ θ π ّ = ∫ . مـــن الواضح أنه ( ) ( ) [ ] 2 2 0 0 1 1 ( ) , d , d 2 2 i 1 ( ,2 ) ( ,0) 0 2 i h h r r r r r h r h r r π π γ θ θ θ θ π π θ π π ∂ ∂ ′ = = ∂ ∂ = − = ∫ ∫ + ℝ r r ∀ ∈ = = لدينا مـــن ناحية أخرى. َ ومـــن ثـــم γ γ 0) 0 ( ) (, 1 1 0 ( ) n n P z a z a z a n n − = + + + − ⋯ إذن فــي حالة ≤ z 1 | | يحدث ( ) 1 1 0 ( ) | | max | | | | | | n n n n n j j n P z a z a z a z b z − − ≤ < ≥ ⋅ − = − فنا ّ عر وقد a a = n و 0 max j j n b a ≤ < ً = . ويحدث أيضا ( ) 1 0 1 1 0 ( ) ( ) ( ) max ( ) | | | | n k k k n n k k n zP z nP z k n a z n k a z c z − = − − ≤ < ′ − = − ≤ − ⋅ = ∑ 296 كثيرات الحدود علــى حقل تبديلي ً فنا أيضا ّ وقد عر ( ) 0 max ( ) k k n c n k a ≤ < . = − فإذا كان ≤ a b z ) / 1,(max | | صار لدينا ( ) | | c G z n a z b − ≤ − ّ َ ومـــن ثـــم max 1, ( ) ( ) b c r r n a ar b > ⇒ − ≤ γ − ، لأنه وهذا يقتضي = r 0( ) γ ، مـــا يلي max 1, ( ) b c r n a ar b > ⇒ ≤ − ّ وبجعل r تسعى إلــى اللااية نجد 0 = n أنه نجد ُ يحق وهذا تناقض. إذن لا بد 0z فــي ℂ ق ( ) .P z0 = 0 .12-5 نتيجة. ليكن P كثير حدود فــي X[ ] ℂ. حينئذ يحدث P غير خزول إذا وفقط إذا كانت درجته تساوي الواحد أي ، = P 1 deg . علــى مبرهنة ً هذا واضح بناء Alembert’D. ّن تكافئ هذه النتيجة القول إ كثيرات الحدود غير الخزولة فــي X[ ] ℂ هي كثيرات الحدود مـــن λ مع λ α (X − ) صيغةال ∗ . α ∈ ℂ و ∋ ℂ ّ ولنفترض أنه < P 0 deg. إذن توجد λ فــي .13-5 مبرهنة . ليكن P كثير حدود فــي X[ ] ℂ . r a a a مختلفة مثنى مثنى فــي ℂ ، ة ّ ℂ وتوجد أعداد ، 1 2 … , , , وتوجد أعداد طبيعي ℕ ق  تحق , , , 1 2 ∗ فــي m m m r … ( ) 1 k r m k k P x a λ = = ⋅ − ∏ وهذه الكتابة وحيدة إذا أغفلنا ترتيب حدود الجداء . الإثبات ينتج البرهان باليةة مباشر مـــن المبرهنة .18-2لأنه تكلة كثيرات الحدود الواحدية وبغير الخزولة فــي .Pℂ = − ∈ {X a a: ℂ} هي ℂ[ ] X جذور كثيرات الحدود 297 .14-5 مبرهنة. ليكن P كثير حدود فــي X[ ] ℝ ك تكافؤ بينتجد هنا . إن P  واحدي وبغير خزول فــي X[ ] ℝ . ّ كثير الحدود .P X a a X a b a b ∈ − ∈ ∪ − + ∈ × { : ℝ} {( ) : , 2 2 ( ) ℝ ℝ∗ } الإثبات ليكن كثير الحدود الواحدي وبغير الخزول P فــي X[ ] ℝ . ّ ⇐ إذا كان = P 1 deg ّ .الإثباتحدث ℂ ℝ فــي α يوجد ولكن . =/ ∋ ∀ x P x ℝ, ( ) 0 كان deg 1 P > كان وإذا ّق ُ يح = α 0( ) P ق ّ ولأنه P ، ً كانحقيقي أيضا = α 0( ) P أنه يقسم ّ د ُ . إذن لا ب الحدود ُ الحدود) X X − − α α )( ) كثير َ كثير P فــي X[ ] ℂ يوجد ومـــنه ، Q فــي ُيحّق ق ℂ[ ] X 2 2 P X X X Q X ( ) ( 2(Re ) | | ) ( ) = − + α α 2 2 ولكن كـــلاً P و مـــن كثيري الحدود صعن مـــن X X − + 2(Re ) | | α α ٌ ر X[ ] ℝ . إذن ّ ونستنتج، لأنه P ّ غير خزول وواحدي، أنه ينتمي Q إلــى ، X[ ] ℝ ، 2 2 2 2 ( ) 2(Re ) | | ( Re ) (Im ) P X X X X α α α α = − + = − + وهذا مـــا يثبت . واضح. ٌ ⇐ هذا اقتضاء .15-5 ملاحظة . يمكننا صياغة النتيجة الماضية علــى ال ليكن : القادم وجه P مـــن X[ ] ℝ يحدث ، γ β α + + = X X P جدير بالذكر 2 كثير الحدود P غير خزول إذا وفقط إذا كان 2 (0 = α و =/ β 0 ( أو ( ) β αγ − < 4 0 ونستنتج ممـــا سبق النتيجة ذات الأهمية المقبلة. 298 كثيرات الحدود علــى حقل تبديلي ُ يحّق < P 0 deg وجدي، إذن λ فــي ∗ .16-5 نتيجة. ن ليك P كثير حدود مـــن X[ ] ℝ ق ، ℝ 1 أعداد وتوجد ً ثنائيات , , … r α α مختلفة مثنى مثنى مـــن ℝ ، و توجد أيضا ( ) 1 1 ً أيا β γ i i ℝ ق  وتحق 0 4 > − 2 2 مـــن مثنى مثنى مختلفة ) ,( , , ), ( β γ β γ m m … مـــن k k r , , … 1 و s s m, , … 1 ً ة أعداد طبيعي ∗ كان i مـــن ℕm توجد ، و أخيرا ℕ بجدير بالذكر ُكتب ي P بالشكـــل ( ) ( ) 2 1 1 i i r m s k i i i i i P X λ α X Xβ γ = = = ⋅ − ⋅ + + ∏ ∏ وهذه الكتابة وحيدة إذا أغفلنا ترتيب حدود الجداء . .6 العلاقات بين الجذور والأمثال فــي كثيرات الحدود Pk n ( ) .1-6 مبرهنة . نكود بالكود ℕn للدلالة علــى تكلة أجزاء التــي مجموعة عناصر كـــل مـــنها k، مع n ∗ مـــن ) , , ( x x 1 … n ً ℕ ∈ و {0} ℕn ∈ ∪ k كان عندئذ . أيا n K كان ( ) 1 0 ( ) ( 1) n k n n k n k i j i k B P j B X x x X − = = ∈ ∈     − = −          ( )∗ ∏ ∏ ∑ ∑ ّ مع الاصطلاح أنه 1 j j x ∈∅ . ∏ = الإثبات هذه المساواة بالتدريج علــى المجموعة ّ . إن ∗( ) لنالتحــقق صحة n َ ً عند سليمة وضوحا 1 = n. لنفترض إذن صحتها عند قيمة n كني. ول +n … 1 1 x x ) , , ( مـــن n+1 K. عندئذ يحدث ْض التدريج ً إلــى فر لدينا استنادا مـــا يلي : ( ) 1 0 ( ) ( 1) n k n n k n k i j i k B P j B X x x X − = = ∈ ∈     − = −          ∏ ∏ ∑ ∑ علــى العلاقة ً وبناء : المقبلة 1 1 1 1 1 ( ) ( ) ( ) n n n i i n i i i i X x X X x x X x + + = = = ∏ ∏ ∏ − = − − − العلاقات بين الجذور والأمثال 299 299 نجد ( ) ( ) ( ) ( ) 1 1 1 1 0 0 1 1 0 { 1} ( ) ( 1) ( 1) ( 1) ( 1) n n k k n n k k n n n k n k k n k i j n j i k B P j B k B P j B n k n k k j j k B P j B B P j B n X x x X x x X x X x + + − − + = = ∈ ∈ = ∈ ∈ + − + = ∈ ∈ ∈ ∈ ∪ +         − = −   − −                         = −   + −                 ∏ ∑ ∑ ∏ ∑ ∑ ∏ ∑ ∑ ∏ ∑ ∏ ( ) ( ) 1 ( ) ( ) 1 1 1 ( 1) 0 1 1 1 0 1 { 1} 1 1 { 1} ( 1) ( 1) ( 1) ( 1) n n k k n n n k k n n k k n n k n k k n k j j k B P j B k B P j B n n n k j j j j B P j B B P j B n X x X x X X x x x − + − + − + = + + − + − = ∈ ∈ = ∈ ∈ ∪ + + + ∈ ∈ ∈ ∈ ∈ ∪ +         = −   + −                       = + − + −  +         ∑ ∑ ∑ ∑ ∑ ∏ ∏ ∏ ∏ ∏ ∑ ∑ ℕ ( 1) 1 1 1 1 0 ( 1) . n k n n k k n k n k j k B P j B X x X + + − = + + − = ∈ ∈     = −          ∑ ∑ ∑ ∏ .باتهـــوهـــو المطلوب إث ً كان .2-6 تعريف. ف، أيا ّ ∗ نعر n مـــن مـــن ) , , ( x x 1 … n ℕ و، k مـــن {0} ∪ ℕn و، n ، K المقدار ( ) ( ) 1 ( , , ) n k n k n j B P j B x x x ∈ ∈ Σ … = ∑ ∏ فمثلاً ( ) 0 1 ( , , ) 1 n Σ x x … n = , ( ) 1 1 1 2 ( , , ) n Σ x x x x x … n = + + ⋯ n , ( ) 2 1 1 ( , , ) n n i j i j n x x x x ≤ < ≤ Σ … = ∑ , ( ) 1 1 2 ( , , ) n Σn x x x x x … n = ⋯ n . ّي , , , 0 1 ( ) ( ) ( ) ( ) ونسم n n n وقد .ًمتحولا ّ n ذات البسيطة المتناظرة التوابع Σ Σ Σ n … ً Σk عن عوضا جر ّ ت الالعودةة أنه نكتب فقط ( ) 1 ( , , ) n Σk x x … n ٌ إذا لم يكن تجد هناك مجال للالتباس. علــىب ،يمكننا إذن ً ،التعريف السابق ناء أنه نعيد صياغة المبرهنة .1-6 : علــى الوجه الآتي ′ 1-6 . رهنةمب . كان ً ∗ أيا n مـــن مـــن ) , , ( x x 1 … n ℕ و ، n K كان 1 0 ( ) ( 1) n n k n k i k i k X x X − = = ( ) ∗∗ ∏ − = − Σ ∑ 300 كثيرات الحدود علــى حقل تبديلي 1 .3-6 نتيجة. ن ليك 0 1 1 n n P a a X a X a X n n − ⋯ + + + + = مـــنكثير حدود − إذا ،P جذور الحدود كثير K مـــن ξ ξ ξ n n , , , −1 1 … العناصر تكون عندئذ .K[ ] X وفقط إذا التحــققت الشروط ( ) 1 , ( , , ) ( 1) n k n k n n k n a k a ξ ξ − ∀ ∈ Σ ℕ … = − ّ وذلك لأنه 1 ( ) n n k k P a X ξ = . = − ∏ ∗ .4-6 تعريف. ن ليك n مـــن ℕ ليكن و ، : متناظر إذا وفقط n ٌ ّ نقول إن f . التابع f K K → ّ تحق ق الشرط إذا 1 1 (1) ( ) , ( , , ) , ( , , ) ( , , ) n S x x n n n n ∀ ∈ ∀ ∈ σ … K f x x f x x … = σ σ … التابعان فمثلاً f و g فان فــيمـــا يلي ّ المعر 2 2 2 2 2 2 2 2 ( , ) ( , , ) f x y x y x y g x y z x y y z z x x y y z z x = + = + + + + + تابعان متناظران. إن التوابع المتناظرة البسيطة ّ ( ) ( ) ( ) .5-6 ملاحظة. 1 0 ( , , , ) n n n متناظرة توابع. Σ Σ Σ n … تنبع أهمية التوابع المتناظرة البسيطة مـــن المبرهنة المقبلة التــي نقباليةا بدون إثبات . ∗ .6-6 مبرهنة. كن يل n مـــن ℕ وليكن ، : n ٍ فــي كـــل مـــن ً ً وحدوديا ً متناظرا تابعا f K K → يوجد عندئذمتحولاته. ٌ تابع : n ُ يحّق ق h K K → 1 1 2 1 2 ( , , ) , ( , , , ) ( , , , ) n x xn n n ∀ ∈ … K f x x x h … = Σ Σ Σ … ً فمثلاً f الوارد يكتب التابع بالشكـــل آنفا 2 2 1 2 f x y x y xy x y x y ( , ) = + = + ⋅ = Σ ⋅ Σ ( ) العلاقات بين الجذور والأمثال 301 ا التابع ّ وأم g فــيكتب بالشكـــل: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 1 1 1 1 1 1 2 3 ( , , ) 3 3 g x y z xy yz zx x y y z z x xy x y yz y z zx z xy z yz x zx y xy yz zx xyz = + + + + + = + + + + Σ − = Σ − + Σ − + Σ − = + + Σ − = Σ Σ − Σ ً كان .7-6 مبرهنة . ف، أيا ّ 2∗ نعر ( ,n k (مـــن مـــن ) , , ( x x 1 … n ℕ و، n K المقدار ، ( ) 1 1 ( , , ) n n k k n i i S x x x = … = ∑ ّ اك مجال للالتباس. إن التوابع Sk إذا لم يكن هن ( ) ونكتب ببساطة 1 ( ) n متناظرة Sk k≥ وتربطها بالتوابع المتناظرة البسيطة العلاقات المقبلة، المعروفة باسم علاقات نيوتن : Newton ّ فــي حالة ≤ k n ق المساواة :تتحق 1 1 1 2 2 1 1 ( 1) ( 1) 0 k k S S S k k k S k k k − − Σ + Σ + + − Σ + − Σ = − − ⋯ − ّ وفــي حالة > k n ق المساواة :تتحق 1 1 1 2 2 1 1 ( 1) ( 1) 0 n n S S S k k k Sk n n Sk n n − − Σ + Σ + + − Σ + − Σ = − − ⋯ − − − − الإثبات حالة ≤ k n. ليكن 1 ( ) n j j P X x = ّ نعلم أنه = − ∏ 0 ( 1) n n k k n k k P X − − = = − Σ ∑ ا ّ كان لـم = i 0( ) x P أمكننا أنه نكتب 1 1 1 1 1 1 ( ) ( ) ( 1) ( ) ( ) ( 1) ( ) ( ) ( 1) n n m m m i n m i m n m n m m k k i n m i m k n n n m m k k i n m i k m k P X P x X x X x x X X x x X − − = − − − − = = − − − − = = − = − Σ −   = − − Σ           = −  − Σ        ∑ ∑ ∑ ∑ ∑ 302 كثيرات الحدود علــى حقل تبديلي ّ ومـــنه نستنتج أنه 1 1, 1 ( ) ( 1) n n n n m m k k j n m i j j i k m k X x x X − − − − = ≠ = =   − = − Σ       ∏ ∑ ∑  (1) ومـــن ناحية أخرى باشتقاق طرفــي الم ساواة 1 0 ( ) ( 1) n n n k k j n k j k X x X − − = = ∏ − = − Σ ∑ نجد 1 1 1, 1 ( ) ( 1) n n n n k k j n k i j j i k X x k X − − − = = ≠ =      − = − Σ       ∑ ∏ ∑ ّ أنه تنستن ج إذن بعــد التعويض مـــن (1) 1 1 1 1 ( 1) ( 1) n n n n m k n k k n m m k n k k m k k S X k X − − − − − − − = = =    − Σ = − Σ      ∑ ∑  ∑ أنه = 0 n S ناحصطلا وقد ّ ، ومـــنه , ( 1) ( 1) n n m n k n n m m k n k m k k S k − − − − − = ∀ ∈ ℕ ∑ − Σ = − Σ ً بإجراء تغيير للمتحول بوضع وأخيرا p مكان − k n، وبالإصلاح نجد العلاقة المطلوبة. ا حالة ّ أم > k n ف هي أبسط، إذ لدينا 0 , 0 ( ) ( 1) n n m m n i n m i m i P x x − − = ∀ ∈ = = − Σ ℕ ∑ هذه العلاقة ب ّ xi n k بضرب طرفــي المقدار وبالجمع نجد − 0 ( 1) 0 n n m n m k m n m S − − + − = ∑ − Σ = أو 0 ( 1) 0 n m m k m m S − = ∑ − Σ = وهي العلاقة المطلوبة. العلاقات بين الجذور والأمثال 303 3 .8-6 مثال. لتكن , , a b c جذور المالعودةلة 0 = + + q pZ Z فــي ℂ. أوجد مالعودةلة مـــن 2 2 2 الدرجة الثالثة جذورها . c b a , , ّ نعلم أنه 0 1= Σ و p 2 =Σ و q 3 − = Σ ومـــن ناحية أخرى . فــي الحقيقة، 2 2 2 2 1 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 3 2 2 2 2 2 3 2 2 2( ) 2 ( ) 2 a b c p a b b c c a ab c abc a bc abc b c a p a b c q + + = Σ − Σ = − + + = Σ − + + = Σ − + + = Σ − Σ Σ = = Σ = , , a b c هي جذور المالعودةلة 2 2 2 إذن 3 2 2 2 X p X p X q + + − = 2 0 qwwe aqed azcd zxxc 304 كثيرات الحدود علــى حقل تبديلي اتـتمرين ّ إن كل كثيرات الحدود الواردة هي مـــن X[ ] ℂ مـــا لم نذكر غير ذلك. 2 2 صحة المساواة ّ 0 J التمرين .1 أثبت ( ) n k n n n k C C = = ∑ . مساعدة . احسب باليةتين مختلفتين المقدار ( ) 2 1 n ّ ّ + X . ُ ثـــم .م النتيجةعم الحـل 2 فــي الحقيقة، ليكن m n ) , ( مـــن ℕ ّ ، نعلم أنه 0 0 0 (1 ) , (1 ) , (1 ) n k k n k m k k m k n m k k n m k X C X X C X X C X ≥ ≥ + + ≥ + = + = + = ∑ ∑ ∑ فإذا استفدنا مـــن المساواة (1 ) (1 ) (1 ) n m n m X X X + + = + + ّ استنتجنا أنه 0 q q r t r q r n m n m n m r t q r C C C C C − + + = = = ∑ ∑= ّ تذك ّ ر أنه 0 b = Ca فــي حالة … { , 0,1,} ∋ a b. وبوجه خاص، فــي حالة = = q m n نجد 2 2 0 0 ( ) n n n r n r r n n n n r r C C C C − = = = ∑ ∑= وهي النتيجة المطلوبة. ú ً كثير الحدود A علــى كثير الحدود B فــي الحالات المقبلة: قسم إقليديا ّ Jالتمرين .2 4 2 2 2 2 2 3 1 2 1 sin sin sin( 1) 2 cos 1 2 cos 1 2 cos 1 n n n A B X X X X X X X n n X X X X n X X ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ + + + + + − + − − + − + − + نـاتحدثري 305 الحـل نجد بالأكاونت مباشر 1 1 11 1 3 2 ( ) ( ) 2 4 8 8 8 A X B X X X X   =  − + − −        2A وخارج القسمة هـــو الثابت sinϕ. ونلاحظ فــي أنه B قسم ي ّ نلاحظ فــي حالة 2 = n أنه B يقسم ّ n = 3 حالة A3 ً ّ ، وأنه خارج القسمة هـــو وكذلك .sin sin2 ϕ ϕ X + أيضا 4A ّوأنه خارج القسمة يساوي أنه B يقسم ّ فــي حالة نجد 4 = n 2 . sin sin2 sin3 ϕ ϕ ϕ X X + + ّ يوحي لنا ذلك أنه B يقسم ّ An ة، وأنه ّ فــي الحالة العام خارج القسمة يعطى بالعلاقة 2 0 ( ) sin(( 1 ) ) n p n p Q X n p X ϕ − = = − − ∑ ق مـــن ذلك  نبدأ بملاحظة أنه وللتوث ّ i i 2 ( )( ) 2cos 1 X e X e X X ϕ ϕ ϕ − ، − − = − + ّ أنه وكذلك 1 i i i( 1) i i 1 i i i( 1 ) 0 ( )( ) ( )( ) n n n n n n n n k k k X e X e X e X e X e X e X e e X ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ + − − − − − − − = − − + = − −     = − −          ∑ ً وإذا استبدلنا ϕ− بالمقدار ϕ وجدنا أيضا 1 i i i( 1) i i 1 i i i( 1 ) 0 ( )( ) ( )( ) n n n n n n n n k k k X e X e X e X e X e X e X e e X ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ + − − − − − − − − − = − − + = − −     = − −          ∑ فإذا طرحنا المساواة الثانية مـــن الأولى وقسمـــن الطرفــين علــى ا i2 ، وجدنا 2 sin sin sin( 1) ( 2cos 1) ( ) n A X n X n X X Q X n = − + − = − + ϕ ϕ ϕ ϕ n ّ وعلــىه نكون قد أثبتنا أنه = n n BQ A . وهي النت ة. ّ يجة المرجو ة ّ 1 هذا ويمكننا الاستفادة مـــن العلاقة التدريجي sin المساواة أنه لإثبات ّ Q XQ n n+ = +n ϕ +1n = +1n BQ A والوصول إلــى النتيجة المطلوبة بالتدريج. إلاّ ّ أنه تقتضي A BQ n n = الاليةة الماضية مفــيدة فــي . 306 كثيرات الحدود علــى حقل تبديلي ّ أنه نلاحظ 2 i i 2cos 1 ( )( ) n n n n n n X n X X e X e ϕ ϕ ϕ − − + = − − ً نستفــيد مـــن المساواة ϕ −e X ni n وتجد هنا أيضا بالمقدار طرفــيــهافإذا ضربنا − وجدنا 1 i i i( 1 ) 0 1 1 i( 1 ) i( 1) 0 0 2 1 1 i(2 1 ) i( 1) 0 i(2 ) 1 ( )( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) n n n n k k k n n n k k n k k k k n n n k k k k k n k n k k k n A X X e B X X e e X B X e X e X B X e X e X B X e X ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ − − − − − = − − − − + − + = = − − − − − + = = − − = +     − = −              = −              = −          = ∑ ∑ ∑ ∑ ∑ 2 i 1 1 1 n n k k k e X − − ϕ =      −         ∑ ∑ وإذا استبدلنا ϕ− بالمقدار ϕ فــي هذه المساواة وجدنا 2 i i(2 ) 1 i 1 1 1 ( )( ) ( ) n n n k k k k k n k A X X e B X e X e X ϕ − − − ϕ ϕ − = + =     − = −          ∑ ∑ ً فإذا طرحنا المساواة مـــن المساواة مـــن طرفا طرف وجدنا 2 1 1 1 1 ( )sin ( ) sin((2 ) ) sin( ) n n k k k n k A X B X ϕ n k X ϕ k X ϕ − − = + =     = − +          ∑ ∑ ( ) ( ) ( ) و يحدث علــىه A X B X Q X = n فنا ّ ، وقد عر 2 1 1 1 1 1 sin sin(2 ) ( ) sin sin n n k k n k k n k n k Q X X X ϕ ϕ ϕ ϕ − − − = = + − = ∑ ∑ + أو 2 1 1 1 sin(( | |) ) ( ) sin n p n p n n p Q X X ϕ ϕ − − = − − = ∑ وهي النتيجة المطلوبة. ú نـاتحدثري 307 ّ َي الحدود لكثير A و B فــي الحالتــين القادمتين ُ ، ثـــم Jالتمرين .3 احسب القاسم المشترك الأعظم D َي حدود حالة كثير  ُ يح = + D VB UA أوجد فــي كـــل U و V قان ق . 4 3 2 3 2 5 4 3 2 4 3 2 2 11 10 2 3 2 5 5 3 2 2 3 2 2 7 4 10 A B X X X X X X X X X X X X X X X + + − − + + + − + − + − + − + الحـل ّف المتتفيه نعر ( ) 0 k k R ≤ −1Rk علــى بوضع +1Rk باقي قسمة هـــو و R B 1 = و R A 0 = Rk ً أعظم مـــادام 0 ً مشتركا RN قاسمـــا غير معدوم خر باق  لآ شريك أي ٍ =/ Rk عندئذ يحدث . لكثيري الحدود A و B فنا . ّ إذا عر ّ Qk ُ كثير الحدود ثـــم ّه خارج قسمة −1Rk بأنه Rk علــى فــي حالة ّ N k ≤ ≤1 فناه أي ، عر بالعلاقة R Q R R k k k k −1 = + +1 فنا المتتاليتين ّ عر ُ ، ثـــم ( ) ّ 0 k k U ≤ و ( ) 0 k k V ≤ ً كمـــا يلي : ا ّ تدريجي 0 1 1 1 1 0 1 1 1 1 1, 0, , 0, 1, , N k k k k N k k k k U U k U U Q U V V k V V Q V − + − − + − = = ∀ ∈ = − = = ∀ ∈ = − ℕ ℕ VN علــى ثابت لدينا كان UN و RN و مـــن ًكـــلا نقسم أنه ويكفــي ،U A V B R N N N + =  طرالحد ْ ُسي RN لنحصل علــى D و U و V علــى التوالي. فــي الـم ويمكن تمثيل هذه الالأكاونتات فــي جدول، وهذا مـــا سنفعالية فــيمـــا يلي. نجد فــي الجدول القادم نتيجة الالأكاونت السابق. ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 10 5 2 10 25 2 3 2 67 44 3 3 3 3 3 3 2 1 10 3 50 1 1 2 5 3 10 1 3 0 0 1 0 1 3 0 1 2 10 20 12 2 1 1 3 3 3 1 2 1 2 7 7 4 0 42 5 k k k k X k R Q U V A B X X X X X X X X X X X X X X + − − − − + − − + − − + − + − − − − − − + − إذن و gcd , 1 (A B ) = 5 5 1 2 U X X = − + + 63 126 63 و 5 25 3 2 67 22 V X X X = + − + 63 126 126 63 . 308 كثيرات الحدود علــى حقل تبديلي ونجد فــي الجدول القادم نتيجة الالأكاونت فــي الحالة الثانية. ( ) 3 2 1 9 5 25 116 2 1 9 1 9 2 25 5 25 5 25 0 1 0 1 0 1 2 5 10 2 1 3 2 4 0 1 k k k k X X k R Q U V X X A B X X X X X X + − − − + − − + + − + + إذن ( ) 2 و gcd , A B X = + 2 5 9 U X = − 116 116 و 5 2 9 25 V X X = − + + 116 116 116 ú . A X X = − + − − ( ) ( ) 3 2 2 2n n عين باقي القسمة الإقليدية لكثير الحدود ّ J نالتمري .4 جدير بالذكر ( n( ∗ ℕ ∈ كثير الحدود علــى، B فــي الحالات المقبلة: ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 3 2 3 2 3 2 3 B X B X X B X X B X = − = − − = − − = − الحـل إن درجة باقي قسمة A علــى B تساوي الواحد علــى الأكثر. إذن يأخذ باقي القسمة المـــنشود ّ الصيغة + = ( ) b aX X R. فإذا كودنا إلــى خارج قسمة A علــى B بالكود Q كان A X Q X X X R X ( ) ( )( 2)( 3) ( ) = − − + يكفــي لإعادة الثابتين a و b أنه نعرف قيمة ( )X R ل ّ عند قيمتين مختلفتين للمتحو X دنا . فإذا أر ّ المجموعةينيقتضي أنه 2 و 3 ّ الاستفادة مـــن المساواة الماضية اكتفــينا بملاحظة أنه B A R | ( ) − . R A (3) (3) 1 = = − و R A (2) (2) 1 = = − إن أي ّ جذران للفرق − R A الشروط ّ ّ تقتضي أنه − = 1 ( )X R . R R (2) (3) 1 = = − و deg 1 R ≤ ولكن ً تساوي درجة باقي قسمة A علــى B الواحد علــى الأكثر. إذن يأخذ باقي القسمة وتجد هنا أيضا المـــنشود الصيغة + = ( ) b aX X R. فإذا كودنا إلــى خارج قسمة A علــى B بالكود Q كان 2 A X Q X X R X ( ) ( )( 2) ( ) = − + اكتفــينا بملاحظة أنه فإذا أردنا الاستفادة مـــن المساواة الماضية ّ يقتضي أنه 2 ّ المجموعة B A R | ( ) − مضاعف مـــن المرتبة الثانية علــى الأقل ٌ هـــو جذر لكثير الحدود − R A ّ ، أي إن المجموعة 2 ٌ هـــو جذر مـــن كثير الحدود  ّ لكـــل − R A ه . A R ′ ′ − ولمشتق نـاتحدثري 309 و R A (2) (2) 1 = = − أي ,1) 2) (2 ) (2 (R A n بالمقدار كودنا وقد . ′ ′ = = − δ n n,1 δ للدلالة علــى المجموعة 1 فــي حالة 1 = n لمجموعة وعلــى ا 0 فــي حالة 1 < n . ونستنتج مـــن الشروط الماضية أنه ّ ,1 ( ) ( 2)( 2) 1 R X n X n . = − − − δ ّه فــي آخر. نلاحظ أولاً أنه ّ ً ّباع أسلوب الحالة الماضية، ولكن سنتبع أسلوبا يمكننا فــي هذه الحالة ات نفسه، لأنه > B A deg deg حالة 1 = n يحدث باقي قسمة A علــى B هـــو A ّ فــي هذه ّ الحالة. لنفترض أنه 2 ≤ n ُكتب . عندئذ ي A بالصيغة 2 2 0 2 ( 3) ( 3 1) 2 ( 3) ( 3) 2 ( 1) 1 ( 3) ( 3) ( ) ( ) 2 n n n n k k n k A X X X C X n n n X X B X Q X = = − + − + − = − + − − − = − + − + − + ∑ فنا ّ 3 3 2 وقد عر 3 ( ) ( 3) ( 3) n n k k n k Q X X C X − − = ∑ − + − = . إذن باقي قسمة A علــى B فــي حالة 2 ≤ n هـــو 2 ( 1) ( ) 1 ( 3) ( 3) 2 n n R X n X X − . = − + − + − إن درجة باقي قسمة A علــى B فــي هذه الحالة تساوي 3 علــى الأكثر. إذن يأخذ باقي ّ + + + = ( ) d cX bX aX X R ّ . فإذا لاحظنا أنه 2 3 القسمة المـــنشود الصيغة أنه كـــلاً مـــن المجموعةين 2 و 3 مضاعف مـــن المرتبة الثانية علــى ّ يقتضي B A R | ( ) − ٌ هـــو جذر جذران لكـــل الحدود − R A  و 3 مـــن كثيري ّ ، أي إن 2 الأقل لكثير الحدود − R A المجموعة ين و − ′ ′ R A كافئ ُ . وهذا ي R A (3) (3) 1 = = − و R A (2) (2) 1 = = − R A n ′ ′ (3) (3) = = و R A n ′ ′ (2) (2) = = − (δn,1 2) او ّ ّ كانت لـم ≥ R 3 deg مـــن وكـــل 2 − X و 3 − X يقسم + 1 ( )X R ه يوجد استنتجنا أنه ُ يحّق كثير حدود مـــن الدرجة الأولى + X β α ق R X X X X ( ) 1 ( 2)( 3)( ) + = − − + α β وعلــىه يحدث R′(3) 3 = +α β و R′(2) 2 = − −α β 310 كثيرات الحدود علــى حقل تبديلي ومـــنه ( ) ( ) ,1 ,1 (2) (3) 1 3 (2) 2 (3) 4 3 n n R R n R R n α δ β δ = + = − ′ ′ = − − = − ′ ′ وباقي قسمة A علــى B فــي هذه الحالة يساوي R X n X X ( ) ( 2)( 3) ( 1) 4 3 1 = − − − + − − ( δn,1 X δn,1 ) وهـــو المطلوب. ú 2 + + = X X B كثير الحدود يقسم Jالتمرين .5 مـــا هي قيم n الحدودكثير التــي تجعل 1 ( 1) n n n ؟ A X X = + − الحـل ّن لاً أ ّ 2 لنلاحظ أو ( ) مع ،B X X X X = + + = − − 1 ( j)( j) 2i 3 j exp = π . ّ فإذا افترضنا أنه − X) j( ،المرافق بأخذ واستنتجنا A X X Q X ( ) ( j) ( ) = − كان،A يقسم ّ وملاحظة أنه A كثير الحدود A X X Q X ( ) ( j) ( ) = − أنه ،حقيقي ّ ّ وهذا يعني أنه َ − X) j ( يقسم A ي الحدود ً ّ . ولأنه كثير أيضا − X) j ( و − X) j ( ان فــيمـــا بينهمـــا ّ أولي استنتجنا أنه ّ |A B. وبالعكس إذا قسم B كثير الحدود A كان − A X) | j( . إذن لقد ّ أثبتنا أنه B A X A | ( j) | ⇔ − إذا وفقط إذا كان = 0 (j(A . ولكن ّ ونعلم أنه − A X) | j( 2 2 2 1 : 0mod3 (j) (j 1) j ( 1) j j : 1mod3 (( 1) 1) j : 2mod3 n n n n n n n A n n   − =   = + − = − − =      − − =  ّ وعلــى هذا نجد أنه = 0 (j(A إذا وفقط إذا كان n = 2mod6 أو n = 0 أي ( ) 2 ( 1) | ( 1) ( 0) ( 2mod6) n n n ú X X X X n n + + + − ⇔ = ∨ = نـاتحدثري 311 كثير يقسم B X X = + + ( 1) 2 2 Jالتمرين .6 المجموعة مـــا هي قيم n التــي تجعل كثير الحدود ( 1) 1 الحدود n n ؟ A X X = + − − الحـل ّن لاً أ ّ لنلاحظ أو 2 2 2 2 B X X X X = + + = − − ( 1) ( j) ( j) جدير بالذكر ( ) 2i 3 j exp = π . ّ فإذا افترضنا أ ن 2 − X) j ( يقسم A ، كا ن 2 خذ بأ واستنتجنا A X X Q X ( ) ( j) ( ) = − ّ المرافق، وملاحظة أنه A كثير الحدود ّ حقيقي، أنه 2 ّ وهذا يعني أنه A X X Q X ( ) ( j) ( ) = − 2 َ − X) j ( يقسم A ي الحدود ً ّ . ولأنه كثير 2 أيضا و ) j) X − 2 ان فــيمـــا بينهمـــا ّ أولي ) j) X − استنتجنا أنه ّ |A B . وبالعكس إذا قسم B كثير الحدود A كان 2 لقد إذن . )j) | X A − ّ أثبتنا أنه 2 B A X A | ( j) | ⇔ − ّ ونعلم أنه 2 ولكن . A A (j) (j) 0 = = ′ كان إذا وفقط إذا ) j) | X A − ( ) ( ) 2 1 1 2 1 (j) (1 j) j 1 ( 1) j j 1 (j) (1 j) j j ( 1) j j n n n n n n n n n n A A n n − − + = + − − = − − − ′ = + − = − − − 2 إذن − A X) | j ( كان إذاإذا وفقط 2 ( 1) j j 1 n n n 1 2 + = − و ( 1) j j n n n+ . − = − ّ ينتج مـــن الشرط الأخير أنه 1 ( j) 1 n− (U,×) ّ = − ، ولكن رتبة الجذر j − ة فــي الزمرة الضربي تساوي 6 ، إذن ضروري أنه يحدث 6mod0 1 =− n ، أو 6mod1 = n . وبالعكس، إذا إذن . A A (j) (j) 0 = = ′ كان n = 1mod6 كان ( ) ( ) 2 2 ( 1) | ( 1) 1 1mod6 n n X X X X n + + + − − ⇔ = ة. ّ وهي النتيجة المرجو ú علــى P X = + + ( 1) 2 1 n+ X n+2 ة لكثير الحدود ّ Jالتمرين .7 عين باقي القسمة الإقليدي 2 .Q X X = + + 1 312 كثيرات الحدود علــى حقل تبديلي الحـل إن P درجة باقي قسمة ّ علــى Q تساوي الواحد علــى الأكثر. إذن يأخذ باقي القسمة المـــنشود الصيغة + = ( ) b aX X R وهـــو ينتمي إلــى X[ ] ℝ . فإذا كودنا إلــى خارج قسمة P علــى Q بالكود S كان 2 P X S X X X R X ( ) ( )( 1) ( ) = + + + ّه فــي 2 ولكن نعلم أنه X[ ] ℂ لدينا ،جدير بالذكر X X X X + + = − − 1 ( j)( j) ( ) 2i 3 j exp = π لنا المساواة الماضية فــي ّ ℂ[ ] X تأم فإذا . R P (j) (j) = أنه استنتجنا ّ وهذه المساواة كافــية لإعادة الثابتين a و b . لدينا ،فــي الحقيقة 2 1 2 2 2 1 2 2 2 (j) (1 j) j ( j ) j j j 0 n n n n n n P + + + + + + = + + = − + = − + = جدير بالذكر a b j 0 + = والعلاقة 2 ú .R = 0 أي a b = = 0 تكافئ ) , ( a b ∈ ℝ يقسم B X X = + + 2 ثلاثة أعداد طبيعية. أثبت أنه 1 Jالتمرين .8 كن لت α و β و γ ّ الحدود كثير 6 1 6 2 6 3 A X (1 ) (1 ) (1 ) X X α+ β+ γ+ . = + − + + + الحـل i2 ليكن ( ) 3 ّ . عندئذ نلاحظ أنه π = exp j 6 1 6 2 6 3 2 6 1 2 6 2 2 6 3 12 2 12 1 12 2 (j) (1 j) (1 j) (1 j) ( j ) ( j ) ( j ) j j j (1 j j ) 0 A α β γ α β γ α β γ + + + + + + + + = + − + + + = − − − + − = − − − = − + + = ّ ، ولأنه A ّ حقيقي استنتجنا أنه إذن j − X يقسم A ً j − X يقسم A . وهذا يقتضي، أيضا َي الحدود ان فــيمـــا بينهمـــا، أنه j − X و j − X ّلأنه كثير ّ ّ أولي |A B. وهـــو المطلوب. ú نـاتحدثري 313 .ً برهن أنه يوجد كثير ا حدود وحيدان U Jالتمرين .9 ليكن n و m مجموعةين طبيعيين موجبين تمـــامـــا و V مـــن X[ ] ℝ ، يحققان: deg , deg , ( ) (1 ) ( ) 1 m n U n V m X U X X V X < < + − = ُ :يح واستنتج أنه يوجد مجموعةان حقيقيان α و β قان ق 1 1 (1 ) ( ) ( ) , ( ) ( ) (1 ) m n X V X nV X X XU X mU X X α β − − − − = ′ ′ + = − عين ّ ً .U X( ) و V X( ) ، صيغةواستنتج β و α وأخيرا الحـل ً مـــن المساواة لنبدأ بإثبات الوجود. نلاحظ انطلاقا 1 ( 1 ) 1 n m X X + − أنه ّ + − = ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 1 1 0 1 1 1 1 1 1 0 1 1 1 1 1 1 0 0 1 1 1 0 1 1 1 1 1 1 1 n m k k n m k n m k n m m k k n m k k k n m k n m n m k m k n m m k k m n k k k n m k n m n m k k n m m k k n k n m k U X C X X C X X C X X C X X C X X X C X X + − + − − + − = + − − + − − + − − + − + − = = − − + + − − + − − + − + − = = − + − − + − = = − = − + − = − + − = − ∑ ∑ ∑ ∑ ∑ ∑ ( ) ( ) ( ) 1 1 1 0 1 1 m n k k m k n m k V X X C X X − − − + − = + − ∑ − ّ ونرى باليةة مباشر أنه > n degU و > m degV ي الحدود َ . وتثبت ّ هذه العلاقة أنه كثير ُ (1 ) n X − و ّ X ان فــيمـــا بينهمـــا. m لي ّ أو ّ ة. نفترض أنه كثيرات الحدود ّ تلن حيث اليوم ثب الوحداني U و V و P و Q ق الشروط المقبلة ّ ُتحق ً وأخيرا degQ m < و degV m < و degP n < و degU n < (1 ) 1 (1 ) m n m n X U X V X P X Q + − = = + − ّ عندئذ نستتج مـــن ذلك أنه ( ) (1 ) ( ) m n X U P X Q V − = − − 314 كثيرات الحدود علــى حقل تبديلي gcd( ,(1 ) ) 1 ولكن m n | ( ) إذن X X − = m deg( ) Q V m − < ولكن .X Q V− ويثبت إذن ضروري أنه يحدث 0 = −V Q أو = V Q يقتضي أنه يحدث وهذا = P U ُ ً أيضا ة. ّ الوحداني نستنتج باشتقاق المساواة 1 ( ) ( 1) ( ) m n أنه ّ X U X X V X + − = 1 1 ( ) (1 ) ( (1 ) ) mU XU X m n X nV X V − − (1) + ′ = − − − ′ الحدود َ ّ ولأنه كثير m 1 X − يقسم ( ) 1 (1 ) (1 ) n X nV X V − مع لي − − − ′ ّ كثير ، وهـــو أو الحدود 1 (1 )n X استنتجنا أنه − ّ − m 1 X يقسم ( ′ nV V X − − ) 1 ((درجة هذا − ّ ، ولكن إذن يوجد ثابت α الأخير تساوي 1 − m ،علــى الأكثر ٌ ُ يحّق ق 1 (1 ) m X V nV Xα − (2) − − = ′ ّ نستنتج أنه وبالتعويض فــي المساواة (1) 1 (1 )n XU mU X α − (3) ′ + = − − . β α = − وعلــىه ّ أنه ونستنتج مـــن (2) بتعويض 1 = X α = −nV(1) فإذا استفدنا مـــن الصيغة 1 1 1 0 ( ) (1 ) m k k m k n m k V X C X X − − − + − = ّ استنتجنا أنه = ∑ − 1 1 ( 1)! ( 1)! ( 1)! m n m n m nC n m α − + − + − = − = − − ⋅ − ّن لنفترض أ 1 0 ( ) m k k k V X X λ − = ّ أنه ∑ = عندئذ نستنتج مـــن (2) 2 1 1 1 1 0 0 0 ( 1) m m m k k k m k k k k k k k X k X n X X λ λ λ α − − − − + = = = ∑ + − − = ∑ ∑ أو 2 1 1 1 1 0 (( 1) ( ) ) ( 1) m k m m k k m k k λ k n X n m X X λ λ α − − − + − = ∑ + − + − + − = نـاتحدثري 315 ّ وعلــىه نستنتج أنه 1 1 m n m α λ − = − + − و 1 1 k k k k n λ λ + + = + فــي حالة 1 m k − ≤ < 0 ّ أنه وهذا يتيح لنا أنه نثبت بالتدريج علــى k { } 1 ( 1)! 0,1, , 1 , ( 1)! ! k k k n k n k m C n k λ + − + − ∀ ∈ − = = − ⋅ … ومـــنه 1 1 0 ( ) m k k k n k V X C X − + − = = ∑ ّن لنفترض أ 1 0 ( ) n k k k U X X µ − = أنه ّ ∑ = عندئذ نستنتج مـــن (3) 1 1 1 0 0 ( ) ( 1) n n k k k k k n k k m k X C X µ α − − − = = ∑ + = − − ∑ ومـــنه { } 1 ( 1)! ( 1) 0,1, , 1 , ( 1)!( 1)! ( ) k k n k n m C k n n m m k µ + − − − ∀ ∈ − = ⋅ − − + … ً وأخيرا 1 1 0 ( 1)! ( ) ( 1) ( 1)! ( 1)! n k n k k k n m C U X X n m m k − − = + − = − − ⋅ − + ∑ وهي النتيجة المطلوبة. ú بس ّ ثـــم ط ُ ، ℂ[ ] X مـــن P X X X ( ) ( i) ( i) = + − − n n Jالتمرين .10 ل كثير الحدود حلّ : الجداء 2 1 4 cot 2 1 m k k m π =   = +      +  ∏  Z الحـل ّن ً مـــن الواضح أ i لكثير الحدود ليس جذرا P إذن i ( ) 0 1 i n x P x x = ⇔ =    +     −    316 كثيرات الحدود علــى حقل تبديلي ّ فنا أنه ّ exp i 2 ومـــن جهة أخرى، إذا عر ( ) n ّ ولاحظنا أنه π ω = i 1 i x x + ≠ − استنتجنا { } { } 1 1 1 i i 1 : i i 1 i : 1 cot : n k n k n k k n n x x k x x x k x k π ω ω ω − − −     + +   = ⇔ ∈ ∈  − −     +  ⇔ ∈    ∈   −    ⇔ ∈ ∈ ℕ ℕ ℕ ّ ولأنه { 1 : cot {الأعداد k n n k π ∈ ℕ − ّ مختلفة مثنى مثنى، و − ≥ n P 1 deg ه استنتجنا أنه عقدي يوجد ع ٌ ُ يحق دد λ ق 1 1 ( ) cot n k k P X X n π λ − =   = −       ∏  X 1 n ولكن أمثال فــي P تساوي in2 إذن − 1 1 ( ) ( i) ( i) 2i cot n n n k k P X X X n X n π − =   = + − − = −       ∏  ّ ، ولنلاحظ أنه لنضع 1 2 + = m n 2 1 1 1 (2 1 ) cot cot 2 1 2 1 cot 2 1 m m k m k m k k m k X X m m k X m π π π = + = =    + −   −  = −        +   +        = +      +    ∏ ∏ ∏ إذن ( ) ( ) ( ) ( ) 2 1 2 1 1 1 1 2 2 1 ( ) 2i 2 1 cot 2 1 2i 2 1 cot cot 2 1 2 1 2i 2 1 cot cot 2 1 2 1 2i 2 1 cot 2 1 m k m m k k m m m k k k k P X m X m k k m X X m m k k m X X m m k m X m π π π π π π = = = + = = =   = + −      +        = + −      ⋅ −    +   +          = + −      ⋅ +    +   +        = + −      +    ∏ ∏ ∏ ∏ ∏ m ∏ نـاتحدثري 317 ّضنا فإذا عو i2 ل ّ ّ استنتجنا أنه بالمتحو X ( ) 2 1 2 1 2 1 (2i i) (2i i) 2i 2 1 4 cot 2 1 m m m k k m m + + π =   + − − = + − −      +  ∏  ومـــنه 2 1 2 1 3 1 4 cot 2 1 2(2 1) m m k k m m π + =     −  + =  + +  ∏  وهي النتيجة المطلوبة. ú كان ، nα π ∉ ℤ مع ℕ ∗ ً n مـــن ℝ كان ، وأيا ∗ ً α مـــن Jالتمرين .11 كان أثبت أنه أيا 1 2 2 0 2 2 cos 1 2 cos 1 n n n k k X X n X X n π α α − =     − + = − + +             ∏    ط الجداء : ّ ثـــم بس 1 0 2 cos cos n k k n π θ α − =      − +  ∏   . الحـل ّل كثير الحدود لنتأم ( ( ) ) 1 2 2 2 0 ( ) 2 cos 1 2 cos 1 n n n k n k Q X X X n X X π α α − = = − + − − + + ∏ ّف ( ) ولنعر 2 i exp i k k n x ّ أنه π α+ = . عندئذ نستنتج مـــن الشرط ℤ ∉ π nα card : 0 ({ } { : 0 }) 2 k k x k n x k n n ≤ < ∪ ≤ < = ّ ّ ن بالالأكاونت المباشر أنه ( ) 0 ونتيق نستنتج Q X ∈ ℝ[ ] ولأنه ، ّ 0> ≥ j n حالة فــي Q xj = ً لكثير الحدود Q. أيضا 0 ( ) ً ّ أنه ً مختلفا = xj Q فــي حالة n j ≤ <0 ، وعلــىه يوجد n2 جذرا ولكن > n Q 2 deg ، إذن ضروري أنه يحدث 0 = Q. وهذا مـــا يثبت المساواة المطلوبة. وإذا ّضنا i عو e ّ استنتجنا باليةة مباشر أنه بالمتحول X θ : ( ) ( ) ( ) 1 2 1 0 cos cos 2 cos cos n k n n k n n π θ α θ α − − = . ∏ − + = − وهي النتيجة المطلوبة. ú 318 كثيرات الحدود علــى حقل تبديلي ُكتب كثير الحدود ً n، ي ً كان المجموعة الطبيعي الموجب تمـــامـــا J نالتمري .12 أثبت أنه أيا ( ) ( ) ( ) 2 1 2 1 i i 1 1 2 1 2 1 n n n X X P X n n + + = + − − + + بالصيغة ( ) 2 2 2 1 2 1 2i 1 (2 1) tan ( ) n n k k n X P X X n π = +   = −      +  ∏  2 ثـــم احسب كـــلاً مـــن 2 1 1 cot ( ) n k n k π + = ∑ و 2 2 1 1 sin ( ) n k n k − π + = ∑ مجموع قيمة . واستنتج 2 المتسلسلة 1 1 n n ∞ = .∑ الحـل ّف لنعر 2 1 (2 1)tan k k n x n π + ℕn ∈ k . ف كثير الحدود ّ + = فــي حالة ولنعر ( ) 2 1 2 1 2 2 1 i i 1 1 2i 1 2 1 2 1 n n n k k X X X Q X X n n x + + =           = + − − − −           + +     ∏ ولنلاحظ مـــا يلي : ℕn فــي حالة j مـــن لدينا ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 1 itan 1 tan exp i exp i cos ( 1) ( 1) 0 cos n n j j j n n n n j j n n n j n j j n j n Q x π π π π π π + + + + + + + + + + + + = + − − − − = − − − = = ً ّ أنه 0 ( ) أيضا استنتجنا Q X Q X ( ) ( ) − = − نّ ولأ Q x − = j . ℕn فــي حالة j مـــن .Q Q (0) (0) 0 = = ′ نّ ً نلاحظ أ وأخيرا ا سبق أنه Q نستنتج مم كثير الحدود ّ الــذي درجته أصغر أو تساوي + n 1 2 يقبل الأعداد ( ) n k k x ∈ℕ و ( ) n k k x − ∈ℕ ،ً ويقبل المجموعة .ً وهذا يقتضي، لأنه مجموع ً مضاعفا جذورا 0 جذرا ّ ، أنه 0 = Q مراتب مضاعفة هذه الجذور أكبر أو يساوي + n 2 2 . وهي المساواة المطلوبة. نـاتحدثري 319 3 بمقارنة أمثال X فــي طرفــي المساواة 2 1 2 1 2 2 1 i i 1 1 2i 1 2 1 2 1 n n n k k X X X X n n x + + =             + − − = −         + +     ∏ ّ نستنتج أنه 3 2 1 3 2 1 1 2i 2i (2 1) n n k k C n x + = − = − + ∑ ومـــنه ( ) 2 1 2 1 1 (2 1) tan 3 n k k n n n π = + − ∑ = ّ ولأنه 2 2 1 cot 1 sin θ θ ّ نستنتج أنه + = ( ) 2 1 2 1 1 (2 1) 2 ( 1) sin 3 3 n k k n n n n n n π = + − + ∑ = + = ّه ولكن نعلم أنه 2 x 0, , sin tan x x x   π ∀ ∈   ≤ ≤   إذن ، ( ) ( ) 2 2 2 2 2 1 1 1 2 1 2 1 1 (2 1) 1 tan sin n n n k k k k k n n n k π π = = π = + + + ∑ ∑ ∑ ≤ ≤ أو 2 2 2 1 (2 1) (2 1) 2 ( 1) 3 3 n k n n n n n = π k − + + ≤ ∑ ≤ وبصيغة مكافئة 2 2 2 2 1 (2 1) 1 1 2 ( 1) 3(2 1) 3(2 1) n k n n n n n π = k n − + ≤ ≤ + + ∑ ّ نستنتج أنه بجعلو n تسعى إلــى اللااية نجد 2 2 1 1 lim 6 n n k k π →∞ = ∑ = وهي النتيجة المطلوبة. ú 320 كثيرات الحدود علــى حقل تبديلي عر ّ ℂ ف . ن ∗ ً ،ً وليكن a مـــن عنصرا Jالتمرين .13 ن كـــلي n و m مجموعةين طبيعيين موجبين تمـــامـــا أنه أثبت . ّ µ = lcm( , ) n m و δ = gcd( , ) n m gcd( , ) n n m m X a X a X a δ δ − − = − ّ واستنتج أنه ( )( ) n n m m ( )( ) X a X a يقسم X a X a − − δ δ µ µ . − − الحـل ً ّ وأنه لنفترض أ α و β ّن ان موجبان تمـــامـــا ّ مجموعةان طبيعي q و r همـــا علــى الترتيب خارج وباقي قسمة . عندئذ 0> ≥ r β مع α β = + p r أي β علــى α ( ) 1 1 0 ( ) ( ) ( ) ( ) p r p r p p r p r r p p k k r p r r k X a X X a a X a X a X a X a a X a X a α α β β β β β β β β β β − − − + = − = − = − + − = − + − ∑ وعلــىه إذا كان r باقي قسمة α علــى β ، كان r r X r قسمة باقي شريك X a − α α − X r علــى β β ّ − . َ ومـــن ثـــم gcd( , ) gcd( , ) r r X a X a X a X a α α β β β β − − = − − ّف إذن 0 لنعر . rk −1rk ىعل +1rk باقي قسمة ،rk ≠ 0 و ، ،مـــاداملنضع r m 1 = و r n = ل قيمة ّ ّه عند أو 1 عندئذ نعلم أنه N يحدث عندها 0 N r .rN = =δ gcd( , ) n m يحدث += ً إلــى الملاحظة الماضية يحدث لدينا واستنادا 1 1 1 1 gcd( , ) gcd( , ) k k k k k k k k r r r r r r r r X a X a X a X a − − − = − − − + + فــي حالة N k ≤ ≤0 . ومـــنه 0 0 1 1 1 1 gcd( , ) gcd( , ) N N N N r r r r r r r r X a X a X a X a − − = − − + + ُكافئ قولنا وهذا ي gcd( , ) n n m m X a X a X a δ δ − − = − ومـــن جهة أخرى، ا ّ مـــن لـم ٌ كان كـــل n n و X a − m m X a يقسم X a − ّ استنتجنا أنه µ µ − lcm( , ) | ( ) n n m m X a X a X a µ µ − − − نـاتحدثري 321 ّ جداء الضرب وهذا يقتضي أنه gcd( , )lcm( , ) n n m m n n m m X a X a X a X a − − − − يقسم ( )( ) X a X a δ δ µ µ − − ولكن gcd( , )lcm( , ) ( )( ) n n m m n n m m n n m m X a X a X a X a X a X a − − − − = − − إذن ( )( ) | ( )( ) n n m m X a X a X a X a δ δ µ µ − − − − وهي النتيجة المطلوبة. ú Jالتمرين .14 ليكن P كثير حدود مـــن الدرجة n أمثاالية أعداد سليمة أي [ ]ℤ ∈ X P. أنه أثبت . ّ N P P P n = gcd( (0), (1), , ( )) … وليكن ∀ ∈ m N P m ℤ, | ( ) الحـل ّل ( , , , ) 1 0 لنتأم n ℓ … ℓ ℓ كثيرات حدود لاغرانج الموافقة للنقاط n ) … , 0,1, (ّ . نعلم أنه 0 ( ) , 0,1, , n k j j k X j X k n k j = ≠ − = = ∏ − ℓ … ّف كثيرات الحدود k لنعر ( ) X k C ∈ℕ بوضع 0 = CX و 1 ( 1) ( 1) ! k X X X X k C k − − + = فــي حالة 0 < k .⋯ ّه فــي حالة عندئذ نلاحظ باليةة مباشر أنه k مـــن n } … , 0,1, {لدينا 1 1 1 1 ( ) 1 1 1 ( 1) k n k k n k k n k X X k X n X X X X k X k X n X k k k n C C C C − − − − − − − − + − − − = ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ − − − = − ⋅ = ⋅ ℓ ⋯ ⋯ او ّ كان لـم 1 ( 1) ( 1) , ( 1) ! k k k X X k X X X k k C C k ∗ − + − − − − − − + ∀ ∈ = = − ⋯ ℕ 322 كثيرات الحدود علــى حقل تبديلي ً ّ أنه استنتجنا أيضا 1 ( ) ( 1) ( 1) n k k n k k k n k k X C C X n X C C X k X n − − − − = − ⋅ = − ⋅ − + + − + ℓ ً ليكن إذن p ً سليما مجموعةا ، وليكن k مـــن n } … , 0,1,{. نناقش الحالات المقبلة : فــي حالة … { , 0,1,} ∋ n p لدينا , ( ) k p k و ، ℓ p = δ p k, δ كرونيكر. هـــو كود فــي حالة < n p ، لدينا 1 ( ) ( 1)n k k n k k p p k p C C − − = − ⋅ ∈ − − . ℓ ℤ فــي حالة 0 > p ، لدينا 1 ( ) ( 1)k k n k k k p n p p C C − = − ⋅ ∈ − − − . ℓ ℤ ّ إذن لقد أثبتنا أنه {0,1, , }, , ( ) k ∀ ∈ k n p p … ℤ ℓ ℤ ∀ ∈ ∈ ً ليكن P مـــن عنصرا X[ ] ℤ درجته n عندئذ 0 ( ) ( ) ( ) n k k P X P k X = ℓ = ∑ . فإذا كان N P P P n = gcd (0), (1), , ( ) ( … ) فنا ّ k وعر q خارج قسمة ( )k P علــى N كان لدينا 0 , ( ) ( ) n k k k m P m N q m = ∀ ∈ = ⋅ ℤ ∑ ℓ ّ ú . ∀ ∈ m N P m ℤ, | ( ) ثـــم ومـــن َ ً n ≤ 1 احسب المقدار . مـــن الدرجة ا ّ Jالتمرين .15 ليكن P مـــن X[ ] ℝ كثير حدود واحدي ( ) 0 0 , ( ) n k j n j k P k k j = ≤ ≤ ≠ ∑ ∏ − ّ ُ ثـــم ّ استنتج أنه ( ) 0 max 2 ! n k n P k n − ≤ ≤ . ≥ الحـل ً مـــن ( , , , ) 1 0 نستفــيد فــي هذا التمرين أيضا n ℓ … ℓ ℓ كثير ات حدود لاغرانج الموافقة للنقاط n ) … , 0,1, (ّ . نعلم أنه 0 , ( ) , 0,1, , k j n j k X j X k n k j ≤ ≤ ≠ − = = ∏ − ℓ … نـاتحدثري 323 فإذا كان P كثير حدود مـــن الدرجة n فــي X[ ] ℝ كان 0 ( ) ( ) ( ) n k k P x P k x = (1) = ∑ ℓ ولكن 1 ( /( ) ) lim n x P x x →+∞ ّلأنه P واحدي مـــن الدرجة n ، ولدينا باليةة مباشر = ( ) 0 , ( ) 1 ( 1) ( 1) lim ( ) ! ! ! n k n k k k n x n j n j k x C x k j k n k n − − →+∞ ≤ ≤ ≠ − − = = = ∏ − − ℓ n فإذا قسمـــنا طرفــي المساواة (1) علــى x وجعلنا x تسعى إلــى اللااية وجدنا 0 0 0 , ( ) 1 1 ( 1) ( ) ( ) ! n n n k k n k k j n j k P k C P k k j n − = = ≤ ≤ ≠ = = − ∑ ∏ − ∑ ّ نستنتج مـــن المساواة الماضية أنه 0 0 0 0 ! ( ) max ( ) 2 max ( ) n n k k n n n k n k n k k n C P k C P k P k ≤ ≤ ≤ ≤ = =     ≤ ≤ =          ∑ ∑ ّه فــي حالة كثير حدود واحدي مـــن الدرجة وهذا يثبت أنه ُ n لدينا 0 max ( ) 2 ! n k n P k n − ≤ ≤ ≥ ُكافئ وهي ت ( ) 0 [ ], (0) 2 max ( ) n n n k n P X P P k ≤ ≤ ∀ ∈ ℝ ≤ ّق المساواة فــي حالة وتتحق 0 ( ) ( 1) ( ) n k k k P X X = . = − ∑ ℓ ّ نستنتج مـــن المساواة نفسها ومـــن متراجحة كوشي شوارتز أنه و 2 2 0 0 0 2 2 0 ! ( ) ( ) ( ) ( ) n n n k k n n k k k n n n k n C P k C P k C P k = = = = ≤ ≤ = ∑ ∑ ∑ ∑ 324 كثيرات الحدود علــى حقل تبديلي ومـــنه 2 2 ( ) 2 0 [ ], (0) ( ) n n n n n k P X P C P k = ∀ ∈ ℝ ≤ ∑ .إثبات المطلوبويحصل ú كثيري حدود مـــن الدرجة n ≤ 1 أمثااليةمـــا أعداد عقدية. ولنفترض َ Jالتمرين .16 ليكن P و Q َي الحدودأنه ل ً كثير P و Q أالجذور نفسها و ّ ي الحدودل أنه يضا َ كثير 1 − P و 1 − Q الجذور نفسها. أثبت أنه = Q P. الحـل ّ ℕ ∗ ليكن P كثير حدود مـــن الدرجة n مـــن . ولنعر ف اموعتين B = ∈ = {z P z ℂ : ( ) 1} و A = ∈ = {z P z ℂ : ( ) 0} عندئذ يحدث لدينا ( ) ( )n P X X α α λ α ∈ = − ∏ A و ( ) 1 ( ) m P X X β β λ β ∈ − = − ∏ B ّ مـــن الواضح أنه ∅ = ∩ B A . ّ ونلاحظ أنه ّ كـــلاً مـــن 1 ( )n X α α α − ∈ ∏ − A و 1 ( )n X β β β − ∈ ∏ − B يقسم ( )′X P وهمـــا ان فــيمـــا بينهمـــا ّ لي ّ ّلأنه ∅ = ∩ B A أو . داءالجإذن يقسم 1 1 ( ) ( ) n n X α X β α β α β − − ∈ ∈ ∏ − ∏ − A B كثير الحدود ( )′X P، ومـــنه ( 1) ( 1) deg 1 n m P n α β α∈ β∈ ∑ ∑ − + − ≤ ≤ − ′ A B أي n m card( ) card( ) 1 n α β α∈ β∈ ∑ ∑+ − − ≤ − A B A B ومـــنه card( ) A B ∪ ≥ +n 1 نـاتحدثري 325 النتيجة . إذا كان P كثير حدود مـــن X[ ] ℂ ق ّ ُ ، يح < P 0( ) deg ق . عندئذ card : ( )( ( ) 1) 0 1 deg ({z P z P x ∈ ℂ − = ≥ + }) P ّ لنفترض أنه P و Q ي حدود َ  n ≤ 1 ّ . ولنفترض أنه Q ينعدم ين كثير مـــن الدرجة عقدي ّوأنه 1 − Q ينعدم عند جذور 1 − P ل كثير الحدود عند جذور P ّ . عندئذ نتأم ّوأنه R ينعدم علــى اموعة degR n ≤ أنه فنلاحظ . ّ R P Q = − {z P z P z ∈ ℂ : ( )( ( ) 1) 0 − = } ً مـــن ّ التــي مجموعة عناصرها أكبر تمـــامـــا n أنه يحدث د ُ ú .P Q = أو R = 0 ب فلا . .P P X n n − =′ n ُ يحّق Pn ق Jالتمرين .17 فــي أثبت أنه يوجد X[ ] ℚ كثير حدود وحيد الحـل ّن لنفترض أ 0 m k P a X = ∑k= k ُيحّق ق ّ عندئذ نجد بالتعويض أنه ′= − X P P n 1 1 0 0 ( 1) m m k k n k k k k a X k a X X − + = = ∑ ∑− + = أو 1 1 0 ( ( 1) ) m m k n m k k k a X a k a X X − + = + − + = ∑ إذن ضروري أنه يحدث = m n، و 1 n . 0 ≤ p يحدث للتابع f جدول التغيرات القادم : 3 3 2 2 3 3 3 3 ( ) ( ) p p p p p p x f x f x q q −∞ − − − +∞ ′ + − + −∞ − − + − +∞ ր ց ր وعلــى هذا ينعدم f ة واحدة فقط إذا وفقط إذا كان ّ مر 2 2 0 0 3 3 3 3 p p p p q q           − − < ∨ + − >               ُك افئوهذا ي 2 2 3 3 3 3 p p p p q q           > − − ∨ − > − −               3 2 أو . 27 4 0 q p + > 3 إذن يقبل كثير الحدود ً فقط إذا وفقط إذا كان ً واحدا ا ّ ً حقيقي جذرا X pX q + + (0 ≤ p ( أو 2 3 27 4 0 q p + > ُكافئ وهذا بدوره ي 334 كثيرات الحدود علــى حقل تبديلي أو ) p q = = 0) 2 3 27 4 0 q p + > ملاحظة . يمكن فــي هذه الحالة إيجاد هذا الجذر z بمحاولة البحث عنه بالشكـــل + = v u z فنجد 0 ( )( 3) = + + + + + q v u p uv v u. وتجد هنا يكفــي أنه نختار 3 3 بالتعويض فــي المالعودةلة 3 u و 3 v ج ذرين للمالعودةلة مـــن الدرجة الثانية: 3 2 0 27 p فنجد . X qX + − = 2 3 2 3 3 3 1 27 4 3 3 27 4 3 3 3 2 2 q p q q p q z    + − + +    =  −         .الإثباتوبذا يحصل ú عين كثير حدود A مـــن X[ ] ℝ درجته أصغر مـــا يمكن ، ويقبل القسمة علــى ّ Jالتمرين .20 2 ً لكثير الحدود 1 + X يحدث و ، 1 − A ضاعفا ُ م 3 .X + 1 الحـل 2 ليكن A كثير حدود يقبل القسمة علــى 1 + X ُ ، ويحقق 3 عندئذ . )1 ) | (1 (X A + − ُيح يوجد كثير حدود P ق ق 2 ّ ( 1) + = P X A، ويوجد كثير حدود Q ق ُ يحق 2 3 (1 ) (1 ) 1 + − + = X P X Q لإعادة P و Q عملنست مة، ّ ة إقليدس المعم ّ ّ خوارزمي ة ّن لأخاص 2 X + 1 و 3 ّ X + 1 ان فــيمـــا لي ّ أو بينهمـــا. 3 2 2 0 1 1 0 1 1 0 1 2 1 1 1 3 2 1 1 k R Q S T k k k k X X X X X X X X X + + − + − − − + − − + يحدث ّ َ ومـــن ثـــم 2 2 3 (− − + + + + + = X X X X X 1)( 1) ( 1)( 1) 2 نـاتحدثري 335 إذن يكفــي أنه نختار 2 0 1 1 1 2 2 2 0 و P X X = − − + 1 1 2 2 Q X = − − ليحدث 2 3 0 0 ( 1) ( 1) 1 X P X Q + − + = ُ زوج يحق وإذا كان Q P ) , ( ق ّ 3 2 أي كان) 1) ( 1 ( 1 + − + = X P X Q 2 3 0 0 (1 )( ) (1 )( ) + − = + − X P P X Q Q 2 واستنتجنا مـــن ذلك ومـــن كون ، X + 1 و 3 1 + X ّ لي ّ أو ه يوجد كثير حدود ين فــيمـــا بينهمـــا، أنه R ّ ُ يحقق 3 0 و P P X R − = + (1 ) 2 0 Q Q X R − = + (1 ) ومـــنه 3 0 و P P X R = + + (1 ) 2 0 Q Q X R = − + (1 )  وبالعكس، كـــل زوج ُيحّق 3 2 Q P ) , ( ق مـــن هذا النمط (1 ) (1 ) 1 + − + = X P X Q .ً وضوحا ّ وعلــى هذا فإن A تكلة كثيرات الحدود ّ التــي تحق ق 2 و ) 1 | (X A + 3 ( 1) | ( 1) X A + − هي { } 2 2 3 0 (1 ) (1 )(1 ) : [ ] + + + + ∈ X P X X R R X ℝ ً وأصغر كثيرات الحدود هذه درجة وه 2 2 2 0 0 3 4 1 (1 ) (1 )(1 ) 2 1 (1 ) 2 A X P X X X X X X = + = + − − = − − − وهـــو كثير الحدود المطلوب. ú 336 كثيرات الحدود علــى حقل تبديلي كثير حدود فــي حالةنعرف، ّ 0 Jالتمرين .21 n k k k P a X = ∑ = مـــن [ X[ℤ، المقدار 0 1 ( ) gcd( , , , ) C P a a a = … n ّ ونقول إن P مـــن [ X[ℤ بدائي إذا وفقط إذا كان = 1 ( )P C . أثبت أنه ضرب ّ .1 جداء َ  هـــو كثير حدود بدائي. كثير يني حدود بدائي . ∀ ∈ × ( , ) [ ] [ ], ( ) ( ) ( ) P Q X X C P Q C P C Q ℤ ℤ = أنه أثبت ّ .2 ّ كثير حدود بدائي. أثبت أنه P غير خزول فــي X[ ] ℚ إذا وفقط إذا ℤ[ ] X مـــن P ليكن .3 كان غير خزول فــي X[ ] ℤ إذا ، أي ي حدود مـــن َ ً لجداء كثير لم يكن مساويا X[ ] ℤ درجة كـــل مـــنهمـــا أكبر مـــن 1 . الحـل ّ لنفترض أنه .1 0 n k P a X = ∑k= k و 0 m k Q b X = ∑k= k ℤ[ ] X مـــن حدود كثيرا ُ يحققان C P C Q ( ) ( ) 1 = = ّف لنعر 0 n m k R PQ c X k k + = أولي ّ . عندئذ يوجد مجموعة ∑ = = ّ ، ولنفترض أنه =/ 1 ( ) PQ C ٌ .ا C PQ ( ) يقسم p ّ ّ ة الإثبات أنه | b a p أمكننا 0 0 كان لـم ّ أنه نفترض بدون الإخــلال بعمومي 0 ف p a| ّ ، عندئذ نعر κ = ≤ max : | { j n p aj } κ < n إن ّ َ م َ َس وإلاّ p ق َ المجموعة ( )P C ناقض كون وهذا ي = 1 ( )P C . ّل إذن 1 لنتأم cκ+ : 1 0 1 1 1 1 0 c a b a b a b a b κ+ + = + + + + κ κ ⋯ κ κ+ إن p ّ يقسم الأعداد 1 cκ+ و 0 1 a a a , , , … κ فهـــو يقسم 1 0 a b κ+ ّ ولكن p لي مع ّ 1 أو aκ+ ً إلــى تعريف استنادا κ  ، إذن لا بد أنه يقسم p المجموعة 0 b ف إذن ّ . لنعر τ = ≤ max : | { j m p bj } τ < m إن ّ َ م َ َس وإلاّ p ق َ المجموعة ( )Q C وهذا يناقض كون = 1 ( )Q C . نـاتحدثري 337 لنضع إذن 2 + + = κ τ σ ل المقدار ّ c ولنتأم ، ّ σ ، نعلم أنه | | 1 1 0 0 i j i p a i j i j i j b j j i p i j c a b a b a b a b κ κ τ σ σ κ τ σ σ ≤ ⇒ ≤τ − + + − + = = = ⇒ = = + + ∑ ∑ ∑ او ّ p c| لـم كان ّ σ أنه استنتجنا ، 1 1 p a b | ا أنه يحدث . فإم + + τ κ ّ 1 p a| κ+ وهذا يناقض تعريف 1 κ، أو أنه يحدث p b| τ+ وهذا يناقض تعريف τ  . يبين ّ هذا التناقض أنه افتراضنا ُ =/ 1 ( ) PQ C ّد أنه يحدث خطأ، ولا ب = 1 ( ) PQ C . .2 ليكن P كثير حدود مـــن X[ ] ℤ. عندئذ بقسمة أمثال P علــى قاسمها المشترك الأعظم وهـــو = ، و P ∗ ، فــيحدث لدينا ( ) P P C P( ) ∗ P C حدود بدائي نحصل علــى كثير P ∗ بدائي. فإذا كان P و Q ي حدود مـــن َ PQ C P C Q P Q ( ) ( ) كان ،ℤ[ ] X كثير∗ ∗ ً = إلــى مـــا ، واستنادا ،ً إذن ∗ ∗ أثبتناه فــي .1 يحدث Q P ا ّ . C PQ C P C Q ( ) ( ) ( ) = بدائي ّ مـــن الواضح أنه كون P غير ّ ولنفترض أنه = 1 ( )P C. .3 ليكن P كثير حدود مـــن X[ ] ℤ ّه غير خزول فــي X[ ] ℤ ، لنثبت العكس. خزول فــي X[ ] ℚ يقتضي أنه P P P = 1 2 أنه لنفترض ّ جدير بالذكر 1 . فإذا ℚ[ ] X مـــن P2 1P و و deg 1 P2 ≥ و deg 1 P ≥ فنا المجموعة ّ αk عر ّه المضاعف المشترك الأصغر لمقامـــات ثوابت كثير الحدود Pk بأنه ، فــي حالة 1 = k الحدود كثيرا انتمى ،k = 2 و لدينا وكان .ℤ[ ] X إلــى T P 2 2 2 = α و T P 1 1 1 = α ولكن .C T C T ( ) ( ) 1 2 1 2 = α α أنه استنتجنا بدائي ّ P ولأنه . ّ TT P 1 2 1 2 = α α 1 1 1 T C T T ( ) ∗ T C T T 2 2 2 ( ) و= ∗ T1 = وكثيرا الحدود ∗ 2T و ∗ ينتميان إلــى X[ ] ℤ. نستنتج P T T1 2 أنه إذن ّ ∗ ∗ = ّ ، أي إن P فــي ٌ خزول X[ ] ℤ . وهي النتيجة المطلوبة. ú 338 كثيرات الحدود علــى حقل تبديلي . ℚ[ ] X فــي خزول غير P X X = + − 3 أثبت أنه 1 3 ّ Jالتمرين .22 الحـل ّن ً لنفترض أ P خزول فــي X[ ] ℚ ، إذن يقبل P ّه مـــن الدرجة الثالثة. وعلــىه جذرا r فــي ℚ لأنه ُ ان فــيمـــا بينهمـــا ويح يوجد مجموعةان سليمان p و q ققا ّ لي ّ p أو ن r q ّ = َ يحدث. ومـــن ثـــم 3 2 3 p pq q + = 3 ّ نستنتج مـــن هذه المساواة أنه 3 p q| gcd( , ) 1 p q = ولأنه ، ّ استنتجنا أنه {1,1 }− ∋ p ّ . ّ ُ ثـــم أنه 3 2 3 نستنتج مـــن المساواة ّ q pq p − = 3 3 q p| gcd( , ) 1 p q = ولأنه ، ّ استنتجنا أنه ّ ّد أنه يحدث q ∈ −{ 1,1} ُ ّ . ولكن نجد بالالأكاونت المباشر أنه . إذن لا ب {1,1 }− ∋ r غير ّ ً ℚ َ ، وهـــو مـــن ثـــم = 3 (1)P و − = − 5 (1 )P لا يقب ، إذن ل كثير الحدود P فــي جذرا ú .ℚ[ ] X فــي خزول .ℚ[ ] X فــي P X X = + + 5 فر 1 ّ Jالتمرين .23 ق كثير الحدود الحـل افــي الحقيقة لدين 2 3 2 P X X X X = + + − + ( 1)( 1) وهـــو التفريق المطلوب! ú قس ُ م وفق القوى التي تزداد كثير الحدود A علــى كثير الحدود B حتى المرتبة n فــي ّ Jالتمرين .24 :المقبلةالحالات 5 3 4 2 4 3 5 2 2 6 1 2 3 5 1 1 2 24 6 120 1 ( ) 1 n B A X X X X X X X X a b X abX abX + + − + − + − + ⋯ − + + − نـاتحدثري 339 الحـل ّ فــي الحقيقة، نجد أنه 3 4 5 7 2 3 − + = + + + X X X X Q X X R X (1 ) ( ) ( ) جدير بالذكر 2 3 4 5 6 2 3 4 ( ) 1 4 5 6 7 ( ) 8 4 5 6 7 Q X X X X X X X R X X X X X = − + − + − + = − + − + − ّ ونجد أنه 1 1 3 5 1 1 2 4 6 1 1 ( ) ( ) 6 120 2 24 X X X X Q X X R X   − + = − +     +     جدير بالذكر 3 5 3 1 2 ( ) 3 15 19 1 ( ) 360 180 Q X X X X R X X X = + + = − ً ّ نجد أنه وأخيرا ( ) 2 2 1 1 1 ( ) ( ) ( ) n n n abX a b X abX Q X X R X + − = − + + + جدير بالذكر 1 1 1 ( ) 1 ( ) ( ) ( ) n k k k n k n n n n n Q X a b X R X a b ab a b X = + + = − + + = + − + ∑ وهـــو المطلوب. ú عين كثير حدود P مـــن [ X[ℝ ، درجته أصغر مـــا يمكن و ، باقي قسمته الإقليدية ّ Jالتمرين .25 علــى 4 3 2 يساوي X X X X − − + − 2 2 10 7 3 1 + + X X، وباقي قسمته علــى 4 3 2 يساوي X X X X − − + − 2 3 13 10 2 .2 3 X − 340 كثيرات الحدود علــى حقل تبديلي الحـل ّن 1M لنفترض أ 2M و 1R و 2R و 1M كثيرات حدود مـــن X[ ] ℝ ّ . نفترض أنه 2M و ان ّ لي ّ أو ً فــيمـــا بينهمـــا، ونرغب فــي إيجاد كثيرات الحدود P ُ التــي تحقق فــي آن معا الشرطين و P R M = 1 1 mod . P R M = 2 2 mod ّه إذا كان لاً أنه ّ 0P لنلاحظ أو ً اليةذه المسألة كان ا ّحلاً ّ خاص P P M M R = +0 1 2 R جدير بالذكر( ً حلاً مـــن X ℝ ( [ ] للمسألة نفسها. وبالعكس، إذا كان أيضا P اليةذه المسألة قسم كثيرا  حل ّ أي 1M الحدود 2M و P P − 0 َ الفرق ليان فــيمـــا بينهمـــا كان ّ ً للفرق 2 1M M ّ ، ولأمـــا أو ء داالج قاسمـــا َ P P − 0 د جِ ُ ق ق ℝ[ ] X مـــن R و أي ، P P M M R = +0 1 2 يحُ 0P . وعلــىه إذا كان حلاً ً اليةذه المسألة كانت تكلة ا ّ خاص اموعة كل حلواليةا هي S = + {P M M R R X 0 1 2 : [ ] ∈ ℝ } ً . 2 1M M وللحصول علــى أصغر هذه الحلول درجة يكفــي أنه نختار باقي قسمة أي مـــنها علــى ّ ة إقليدس المعم ّ لإيجاد الحل المعلن، نبدأ بتطبيق خوارزمي م ي حدود َ 1U ة لإعادة كثير 2U و مـــن ُ يحّق قان ℝ[ ] X 1 2 2 2 U M U M + = 1 وعندئذ ف ّ نعر أنه يكفــي لدينا فــيحدث P R U M RU M 0 2 1 1 1 2 2 = + 0 2 1 1 1 1 1 1 1 1 2 1 1 1 0 2 2 2 1 2 2 2 2 2 1 2 2 2 (1 ) ( ) mod (1 ) ( ) mod P R U M R U M R U M R R R M P R U M RU M R U M R R R M = + − = + − = = − + = + − = ً وللحصول علــى أصغر عناصر S ، نختار 1P درجة 0P باقي قسمة علــى M M1 2 . فــي مسألتنا، لدينا 4 3 2 3 1 1 4 3 2 2 2 2 2 2 10 7, 1 2 3 13 10, 2 3 M X X X X R X X M X X X X R X = − − + − = + + = − − + − = − ً ّ أنه مة، فنثبت فــي آن معا ّ ة إقليدس المعم ّ 1M نبدأ بتطبيق خوارزمي 2M و  ليان فــيمـــا بينهمـــا ونعين ّ أو َي الحدود 1U كثير 2U و . نـاتحدثري 341 1 2 1 2 2 2 2 2 3 2 3 2 0 1 0 1 1 0 1 2 3 3 3 1 1 3 1 2 3 2 1 5 7 4 5 k k k k U U k R Q S T M M X X X X X X X X X X X X X X X X − + + − − − − − − + + − − − + − + + − M1 ّ وبذلك نكون قد أثبتنا أنه 2M و َي الحدود ا كثير ّ ن ّ ليان فــيمـــا بينهمـــا، وعيـ ّ 1U أو و ّ U2 ُ . ثـــم ّ فنجد أنه نحسب كثير الحدود P R U M RU M 0 2 1 1 1 2 2 = + 10 9 8 7 6 5 0 4 3 2 5 2 40 96 6 314 401 25 370 197 P X X X X X X X X X X = − + − − + + − + + − + ً  نعين 1P وأخيرا 0P باقي قسمة نجدف 2 1M M علــى 7 6 5 4 3 2 1 P X X X X X X X = − + + − + + − + 2 7 8 64 61 115 249 127 وهـــو كثير الحدود المـــنشود. ú رتبة مضاعفته فــي كـــل مـــن جذر  لكـــل مـــن كثيرات الحدود المقبلة وعين  ٌ Jالتمرين .26  أنه بين 1 :ت المقبلة الاالح 2 1 1 2 1 1 2 2 1 2 2 1 1, (2 1) (2 1) 1, 2( 1) 1. n n n n n n n n n n n n n U X nX nX V X n X n X W X n X n X n X + − + + + − = − + − = − + + + − = − + − − + الحـل ّ وأنه أولاً ّ أنه 0 = 1U ّ نلاحظ 3 2 و U X X = − + ( 1) ( 1) 3 3 3 U X X = − + ( 1) ( 1) إذن، المجموعة 1 مـــن المرتبة ٌ لكـــل  2U جذر 3 مـــن 3U ّ و ّ . لنفترض أنه 4 ≤ n ات ولنحسب المشتق Un ّ المتتفيه لكثير الحدود المرتبة الثالثة، فنجد أنه ّ حتى 342 كثيرات الحدود علــى حقل تبديلي 2 1 1 2 1 2 2 2 2 1 2 3 2 2 2 4 2 2 3 2 4 1, 2 ( 1) ( 1) , 2 (2 1) ( 1) ( 3 2) , 4 (2 3 1) ( ) ( 6 11 6) n n n n n n n n n n n n n n n n U X nX nX U nX n n X n n X U n n X n n X n n n X U n n n X n n X n n n n X + − − − − − − − − − = − + − ′ = − + + − ′′ = − − + + − + ′′′= − + − − + − + − ّ وعلــىه نستنتج أنه (1) 0 Un Un و = 0 (1)′′ = Un و = 0 (1)′ و (3) 2 (1) 2 ( 1) 0 U n n n = − ≠ إذن المجموعة 1 مضاعف مـــن المرتبة الثالثة لكثير الحدود ٌ Un جذر ً كانت قيمة ا ّ أي n أكبر أو تساوي . 2 ّ وأنه نلاحظ أولاً ّ أنه 0 = 0V ّ 3 1 و V X = − ( 1) 3 2 2 V X X X = − + + ( 1) ( 3 1) إذن، المجموعة 1 مـــن المرتبة ٌ لكـــل  1V جذر 3 مـــن 2V ّ و ّ . لنفترض أنه 3 ≤ n ات ولنحسب المشتق Vn ّ المتتفيه لكثير الحدود المرتبة الثالثة، فنجد أنه ّ حتى ( ) ( ) ( ) 2 1 1 2 1 2 1 1 2 2 2 2 2 2 3 (2 1) (2 1) 1, (2 1) ( 1) , (2 1) 2 ( 1) ( 1) , (2 1) 2(2 1) ( 1) ( 3 2) n n n n n n n n n n n n n n n n V X n X n X V n X n X nX V n n X n X n X V n n n X n X n n X + + − − − − − − − = − + + + − ′ = + − + + ′′ = + − + + − ′′′= + − − − + − + ّن وعلــىه نستنتج أ (1) 0 Vn Vn و = 0 (1)′′ = Vn و = 0 (1)′ و (3)(1) (2 1)( 1) 0 V n n n n = + + ≠ إذن المجموعة 1 مضاعف مـــن المرتبة الثالثة لكثير الحدود ٌ Vn جذر ً كانت قيمة ا ّ ∗ أي n مـــن . ℕ نـاتحدثري 343 ّ ف متحو ّ لنفترض أنه 2 ≤ n نلاحظ أولاً ّ أنه 0 = 1W . ّ ّ ً ، ولنعر لاً 1 − = X T. حديثا فــيحدث ( ) 2 2 1 2 2 2 2 1 2 2 2 1 2 0 2 2 2 2 2 1 0 2 ( ) 0 2 1 ( 1) (1 ) 2(1 ) 1 (1 ) ( 2 ) 2 n n n n n n n k k k k k n n n k k k k k k n n n k k k n k W X X n X X T T n T T C C T n T C T T C C n C T T A T − − − ≥ ≥ + + − ≥ ≥ = − + − − = + − + + − + = − − = − − = ∑ ∑ ∑ ∑ وقد ّ نا فعر ( ) 2 2 2 2 1 2 k k k k A C C n C n n n n + + = − − − نلاحظ مـــا يلي : . وعندئذ (0) 2 2 2 2 (1) 3 3 2 2 2 2 (2) 4 4 2 2 2 1 2 0 2 ( 1) 0 ( 1) 2 12 n n n n n n n n n n A C C n A C C n n n n A C C n C − = − − = = − − − = − = − − = بوضع وعلــىه ( ) 2 ( ) ( 1) k k n n k Q X A X ≥ ∑ − = يحدث لدينا ( ) 4 ( 1) W X Q X n = − n و (2) (1) 0 Q A n n = ≠ إذن المجموعة 1 مضاعف مـــن المرتبة ال ٌ Wn جذر لكثير الحدود رابعة ً كانت قيمة ا ّ أي n أكبر أو تساوي ú .2 0 Jالتمرين .27 ليكن كثير الحدود n k k k P a X = ∑ = مـــن الدرجة n فــي X[ ] ℤ. ولنفترض أنه (p q, ) كان إذا أنه أثبت . gcd( , , ) 1 a a 0 … n = ∗ المجموعة وكان× ∋ ℤ ℕ p r q = ً ل P الحدودجذرا كثير) gcd( , ) 1 | | p q = ⇒ ∧ ) (p a q a 0 ) ( n ّ فإن ( . ثـــم أوجد الجذور ال ة ّ العودةي لكثيرات الحدود المقبلة : 4 3 2 3 2 5 4 3 6 11 4 2 12 13 15 6 11 5 6 P X X X Q X X X R X X X X = − − − = + + + = + − + − 344 كثيرات الحدود علــى حقل تبديلي الحـل فــي الحقيقة لدينا ( ) 1 1 1 0 1 0 0 n n n n k n k n k n k k n k k k q P r a q p a p q a p q a p q − − − − − = = = = + ∑ = + ∑ 0 ومـــنه | n | و p a q n n gcd( , ) 1 ولكن .q a p n gcd( , ) 1 و p q = n p a| 0 إذن q p = و | n .q a ّ ة لكثير الحدود ً إلــى مـــا سبق تنتمي الجذور الالعودةي استنادا 4 3 2 P X X X = − − − 6 11 4 إلــى اموعة 4 2 1 1 1 1 1 1 2 4 4, 2, , 1, , , , , , , , ,1, ,2,4 3 3 2 3 6 6 3 2 3 3 − − − − − − − −        وبالتعويض فــي كثير الحدود نجد الجذرين الالعودةيين 2 و 2 3 − ، ويحدث 2 P X X X X = − + − + ( 2)(3 2)(2 1) ّ ة لكثير الحدود ّ وكذلك نرى أنه الجذور الالعودةي 3 2 سالبة Q X X X = + + + 2 12 13 15 وتنتمي إلــى اموعة 1 3 5 15 1, 3, 5, 15, , , , 2 2 2 2 − − − − − − − −        وبالتعويض فــي كثير الحدود نجد الجذر الالعودةي −5 ، ويحدث 2 Q X X X = + + + ( 5)(2 2 3) ّ وكذل ة لكثير الحدود ّ ك نرى أنه الجذور الالعودةي 5 4 3 R X X X X = + − + − 6 11 5 6 تنتمي إلــى اموعة 1 3 1 2 1 1 2 1 3 1 1,2,3,6, , , , , , , , , , , 6, 3, 2, 1 2 2 3 3 6 6 3 3 2 2  − − − − − − − − −        وبالتعويض فــي كثير الحدود نجد الجذر ين ّ ين الالعودةي 2 3 و 3 2 − ، ويحدث 3 2 R X X X X = + − + + (2 3)(3 3)( 1) .الإثباتبذا يحصل و ú نـاتحدثري 345 Jالتمرين .28 تقبل المالعودةلة 0 = + + 3 q px x فــي حالة ، 0 =/ q ثلاثة جذور ، a و b و c فــي ∗ ℂ . مـــا مجموعة القيم التــي يأخذها المقدار a b c ؟ عين المالعودةلة الجبرية التــي a c b ّ + + ً تقبل هذه القيم جذور .ا الحـل ( , , ) لنضع a b c V a b c b c a ّ عندئذ نلاحظ أنه = + + 1 2 ( , , ) ( , , ) ( , , ) ( , , ) ( , , ) ( , , ) V a b c V b c a V c a b v V a c b V b a c V c b a v = = = = = = 1 إذن يأخذ المقدار ( , , ) c b a V قيمتين 2 v و v علــى الأكثر. ويحدث لدينا ( ) 1 2 1 2 3 1 1 1 3 3 3 a b c a c b v v b c a c b a b c a c a b a b c a b c a b c + = + + + + + + + + = + +   Σ Σ = + + + + − = − = −       Σ و 1 2 2 2 2 2 2 2 3 3 3 3 3 3 3 3 3 2 3 3 ( ) a b c a c b v v b c a c b a a c b cb ab ac bc ab ca a c b a b c a b c b a c abc abc       ⋅ = + + + +    = + + + + + + + + + + = + + ولكن a و b و c للمالعودةلة ٌ 3 جذور إذن X pX q + + = 0 3 3 3 a b c p a b c ( ) abc + + − + + = 3 3 3 3 3 3 2 3 2 3 3 ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( ) ( ) 2 ( ) q q a b c b a c ap q bp q cp q bp q ap q cp q abc q p ab bc ca pq a b c − = − + + + + + + + + + + = + + + + + = 2 2 3 2 3 3 q q p q + = + 346 كثيرات الحدود علــى حقل تبديلي ومـــنه 3 1 2 2 9 p v v q = + يحدث ّ المالعودةلة جذري V a c b ( , , ) و V a b c ( , , ) ثـــم ومـــن َ 3 2 2 3 9 0 p V V q − + + = ة. ّ وهي النتيجة المرجو ú Jالتمرين .29 تقبل المالعودةلة 0 = + + 3 q px x فــي حالة ، 0 =/ q ثلاثة جذور ، a و b و c فــي ∗ ℂ احسب المقدار . 2 2 2 2 2 2 2 2 2 a b b c c a c a b + + + + + لة بدلا p و q. الحـل ا ّ ً كانت لـم a و b و c للمالعودةلة جذورا 3 ّ استنتجنا أنه X pX q + + = 0 2 2 2 2 2 2 2 1 ( ) a b a b c c c a b c + + + = − + + = 2 2 2 2 2 2( ) 1 2 1 ab bc ca c p a b q − + + − = − − ّ َ ومـــن ثـــم ( ) 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 3 a b b c c a p a b b c c a c a b q + + + + + = − + + − ولكن 2 2 2 2 2 2 2 a b b c c a ab bc ca abc a b c + + = + + − + + ( ) 2 ( ) 2 = p إذن 2 2 2 2 2 2 3 2 2 2 2 2 3 a b b c c a p c a b q + + + + + = − − وهـــو المطلوب. ú نـاتحدثري 347 .ℂ[X ] مـــن P X X pX qX r ( ) = + + + 3 2 الحدود كثير لنتأمل ّ Jالتمرين .30 P X X a X b X c ( ) ( )( )( ) = − − − أنه ولنفترض ّ أوجد بدلالة . ( , , r q p (كثير 2 الحدود مـــن الدرجة الثالثة الــذي يقبل الأعداد a + ) 1 (و 2 b + ) 1 (و 2 ً c + ) 1 (جذورا الية. الحـل فــي الحقيقة لدينا P X X a X b X c ( ) ( )( )( ) = − − − إذن 2 2 2 2 2 2 2 − − = − − − = P X P X X a X b X c Q X ( ) ( ) ( )( )( ) ( ) و Q هـــو كثير الحدود الواحدي مـــن الدرجة الثالثة الــذي جذوره 2 a و 2 b و 2 c. وعندئذ يحدث − = (1 ) ( ) X Q X R هـــو كثير الحدود الواحدي مـــن الدرجة الثالثة الــذي جذوره 2 1 + a و 2 b+ 1 و 2 . 1 + c 2 فــي الحقيقة، نستنتج مـــن العلاقة ّ أنه . Q X P X P X ( ) ( ) ( ) = − − 2 3 2 3 2 2 2 2 2 2 ( ) ( )( ) ( ) ( ) Q X X pX qX r X pX qX r X X q pX r = + + + − + − = + − + ّ َ ومـــن ثـــم 2 2 Q X X X q pX r ( ) ( ) ( ) = + − + و 2 2 3 2 2 2 2 2 2 ( ) ( 1) ( 1)( 1) ( ) (2 3 ) ( 4 3 2 2 ) ( 1) ( ) R X Q X X X q pX r p X q p X q q p pr X q r p = − = − + − − + − = + − − + − + + − − − − − 2 إذن a + 1 و 2 b+ 1 و 2 c + 1 هي جذور : كثير الحدود 3 2 2 2 2 2 2 X q p X q q p pr X q r p + − − + − + + − − − − − (2 3 ) ( 4 3 2 2 ) ( 1) ( ) ة. ّ وهي النتيجة المرجو ú 348 كثيرات الحدود علــى حقل تبديلي عين المجموعة العقدي λ لةحتى تقبل المالعودة 0 3 λ 2 = + + − 2 4 Z Z Z ّ Jالتمرين .31 يساوي جذرين جداؤهمـــا 1 . ُ المالعودةلة.ثـــم ّ حل الحـل لنضع ،الحقيقة فــي 4 2 يحدث عندئذ P Z Z Z Z ( ) 2 3 = − + + λ 2 2 2 3 2 P Z Z aZ a Z aZ ( ) ( 3 )( 1) ( 4 ) 6 = − + − + + + + − + − λ a a Z a 2 وعلــىه يقبل ( )Z P علــى القسمة 1 + + aZ Z إذا وفقط إذا كان 2 6 = a و 2 λ = − ( 4) a a أي إذا وفقط إذا كان { 6 2 6, 2} − ∋ λ وعندئذ يحدث 2 2 2 2 ( ) 3 1 2 2 9 1 4 2 4 2 3 2 3 2 2 2 4 2 4 2 4 2 4 2 P Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z λ λ λ λ λ λ λ λ    = − − + +                      = − − + −                                    = − − − + + − + +                       λ 0 3 2 = + + − Z Z Z يساوي ؤهمـــا جذرين جدا 1 إذا وفقط إذا 2 4 وهكذا، تقبل المالعودةلة ّق الشرطان تحق 6 2 = ε λ و {1 1, } + − ∋ ε ، وعندئذ تكون تكلة جذور المالعودةلة هي 6 3 2 6 3 2 6 2 6 2 , , , 2 2 2 2 ε ε ε ε  + − − + − +          وهي النتيجة المطلوبة. ú ذك ّ ر أنه كثير الحدود ُ ن .x x x 0 1 , , , … n ً ً مختلفا ً حقيقيا Jالتمرين .32 ينا ليكن لد 1 + n مجموعةا 0, ( ) n j i i j j j i X x X x x = ≠ − = ∏ − ℓ xi هـــو كثير الحدود الوحيد الــذي درجته أصغر أو تساوي n ويأخذ القيمة 1 عند ، والقيمة ،Kronecker ستعمـــال كود با ،أي .x x x x x 0 1 1 1 , , , , , … … i i n − + عند 0 , ( ) . ℓi j i j x = δ نـاتحدثري 349 .1 فــي حالةنبحث، i مـــن { n … , 0,1, {ي حدود َ Ui ، عن كثير Vi مـــن X[ ] ℝ لا تزيد و درجة أي مـــنهمـــا ع لى + n 1 2 : ، ويحققان الشروط { } { } , , 0,1, , , ( ) , ( ) 0. 0,1, , , ( ) 0, ( ) . i k i k i k i k i k i k k n U x U x k n V x V x δ δ ∀ ∈ = ′ = ∀ ∈ = = ′ … … أنه بالمـــن الضروري لدينا أثبت ( ) 2 ( ) ( ) ( ) U X X R X i = ℓi i ( ) و 2 ( ) ( ) ( ) V X X S X i = ℓi i Si كثيرا حدود مـــن الدرجة الأولى علــى الأكثر. وRi و فقط، عين ي الحدود ّ ً أثبت أنه المسألة تقبل حلا،ً وحلاً وحيدا ّ َ Ri كثير Si بدلالة و xi . ℓ′ i i ( ) x و مـــن عنصرين ) , , , ( µ µ µ 0 1 … n و ) , , , ( λ λ λ 0 1 … n +1n .2 كن يل ℝ ّ ، أثبت أنه كثير ّف بالعلاقة الحدود المعر : 0 0 ( ) ( ) ( ) n n k k k k k k H X U X V X λ µ = = +∑ ∑ = هـــو كثير ، ُ ويح الحدود الوحيد الــذي لا تزيد درجته عن + n 1 2 قق ∀ ∈ k n H x H x {0,1, , , ( ) , ( ) … } k k k k = = λ ′ µ . x x 1 0 = = 1, 0 وأنه ّ ّ نفترض فــي هذا السؤال أنه 1 = n .3 . V V U U 1 0 1 0 , , , عين ّ كثيرات الحدود أثبت أنه مهمـــا يكن كثير الحدود P الــذي لا تزيد درجته علــى 3 مـــن X[ ] ℝ يكن ( ) ( ) ( ) ( ) P P U P U P V P V 0 1 0 1 0 1 0 1 = + + + ′ ′ ليكن 8 +1 = ( ) x x f  كثير حدود . عين P مـــن X[ ] ℝ لا تزيد درجته علــى هـــو ومشتقه عند 0 وعند 1 القيم نفسها التــي يأخذها التابع f . قارن 3 ويأخذ ،  مجموعةيا ( ) ً بين 3 8 f و ( ) 3 8 . P . x x x 2 1 0 = = = − 1, 0, 1 وأنه ّ .4 نفترض فــي هذا الس ّ ؤال أنه 2 = n . V V V U U U 2 1 0 2 1 0 , , , , , عين ّ كثيرات الحدود أثبت أنه مهمـــا يكن كثير الحدود P الــذي لا تزيد درجته علــى 5 مـــن X[ ] ℝ يكن ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) P P U P U P U P V P V P V 1 0 1 0 1 2 1 0 1 0 1 2 = − + + + − + + ′ ′ ′ 350 كثيرات الحدود علــى حقل تبديلي ليكن P كثير حدود مـــن X[ ] ℝ لا تزيد درجته علــى 4 . أثبت تقارب المتسل سلة 2 2 2 2 ( ) n ( 1) P n ≥ n n − ∑ . P P P P P P (−1 , 0 , 1 , 1 , 0 , 1 ) ( ) ( ) ′ ′ ′ (− ) ( ) ( ) بدلالة مجموعها واحسب رن  ذك ّ أنه 2 2 1 n 1 n 6 ∞ π = . ∑ = الحـل ً كان .1 لتكن i مـــن n } … , 0,1, {ا ّ . أي k مـــن i n }{ } … , 0,1, {، كان ( ) 0, ( ) 0 U x U x i k i k V x V x i k ′( ) 0, ( ) 0 = i k = و ′ = = k فــيحدث مـــن x  ً لكـــل ً مضاعفا Ui جذرا Vi و داء الج، وعلــىه يقسم 2 0 , ( )k k n k i X x ≤ ≤ ≠ − ∏ كـــلاً Ui مـــن Vi و يوجد كثيرا حدود ّ Ri َ . ومـــن ثـــم و i المساواتين يحّق ُ S قان 2 ( ) U R i i i = ℓ و 2 ( ) . V S i i i = ℓ ّلأنه و 2 deg( ) 2 i ّ استنتجنا أنه n = ℓ و 1 2 deg deg 2 1 V n i ≤ + و U n i ≤ + deg 1 . deg 1 Si ≤ و Ri ≤ ولنكتب .}0,1, , … { n مـــن i لتكن .1 . S c X d i i i = + و R a X b i i i = + Â نستنتج مـــن المساواة 2 ( ) ( ) 1 والشرطين U R i i i = ℓ أنه ّ U x i i ′( ) 0 = و U x i i = 1 i i i 2 ( ) 0 ℓ′ i i i x a + = و a x b + = ومـــنه ( ) 2 i i i 1 2 ( ) و a x = − ℓ′ i i i i أي b x x = + ℓ′ 1 2( ) ( ) R X x x i i i i = − − ℓ′ ة كثير الحدود ّ Ui وهذا يثبت وحداني ّ ق المباشر أنه كثير الحدود  ن بالتحق ّ . وبالعكس، نتيق ( ) 2 ( ) ( ( )) 1 2 ( )( ) U X X i i i i i = ℓ − − ℓ′ x X x ُ يح قق الشروط : deg 2 1 ∀ ∈ k n U x U x {0,1, , }, ( ) , ( ) 0 … i k i k i k = δ , ′ = و U n i ≤ + Â و نستنتج مـــن المساواة 2 ( ) ( ) 0 والشرطين V S i i i = ℓ أنه ّ V x i i ′( ) 1 = و V x i i = 0 i i i ci = 1 و c x d + = نـاتحدثري 351 أي i i Vi ّ . وبالعكس، نتيق  ن بالتحــقق ة كثير الحدو د ّ − = x X S. وهذا يثبت وحداني ّ المباشر أنه كثير الحدود 2 ( ) ( ( )) ( ) V X X X x i = i − i ُ يحق ℓ ق الشروط : deg 2 1 ∀ ∈ k n V x V x {0,1, , }, ( ) 0, ( ) … i k = = i k i k ′ δ , و V n i ≤ + ( , , , ) 1 0 .2 كن يل n ّ كثير الحدود ولنتأم ℝ ل، n+1 مـــن عنصرين ) , , , ( µ µ µ 0 1 … n و λ λ λ … ّف بالعلاقة المعر 0 0 ( ) ( ) ( ) n n j j j j j j H X U X V X λ µ = = = ∑ ∑+ ّ فنلاحظ باليةة مباشر أنه + ≥ n X H 1 2 ( ) deg ّ ، وأنه {0,1, , }, ( ) , ( ) . k k k k ∀ ∈ k n H x H x … = λ ′ = µ ّ وبالعكس، إذا كان P كثير حد ق ُ ود آخر يحق ∀ ∈ k n P x P x {0,1, , }, ( ) , ( ) … k k k k = = λ ′ µ و deg 2 1 P n ≤ + استنتجنا أنه − = P H Q الفرق ً k يقبل كل الأعداد { 0 : } ّ جذورا ،مضاعفة x k n ≤ ≤ ،ً ّ ودرجته أصغر أو تساوي + n 1 2 أنه يحدث معدومـــا د ُ فلا ب أي = P H . ّوأنه ّ نفترض فــي هذا السؤال أنه 1 = n .3 1 0 . x x = = 1, 0 .3 فــيحدث لدينا 0 . ℓ′ 1 1 ( ) 1 x = و ℓ′ 0 0 ( ) 1 x = − و ، ℓ1 ( ) X X = و ℓ ( ) 1 X X = − ّ وعلــىه نستنتج أنه 2 2 0 0 2 2 1 1 ( ) ( 1) ( ) ( 1) (1 2 ) ( ) ( 1) ( ) (3 2 ) V X X X U X X X V X X X U X X X = − = − + = − = − .3 يكن ل P كثير حدود لا تزيد درجته علــى 3 مـــن X[ ] ℝ وليكن كثير الحدود Q ف كمـــا ّ المعر يلي : ( ) 0 1 0 1 Q P P U P U P V P V = − + + + (0) (1) (0) (1) ′ ′ ّ عندئذ نرى باليةة مباشر أنه ≥ Q 3 deg ّوأنه 0 الأعداد ّ و 1 جذور مضاعفة لكثير الحدود Q د ُ فلا ب ً أنه يحدث Q ، أي معدومـــا 0 1 0 1 P P U P U P V P V = + + + (0) (1) (0) (1) ′ ′ 352 كثيرات الحدود علــى حقل تبديلي ُيحق f ف بالعلاقة .3 ق التابع ّ المعر + = 8 1 ( ) x x f مـــا يلي : 4 (0) 1, (0) 4, (1) 3, (1) 3 f f f f = = = = ′ ′ وعلــىه يحدث كثير الحدود المطلوب هـــو 2 2 2 2 2 3 4 ( 1) (1 2 ) 3 (3 2 ) 4 ( 1) ( 1) 3 10 4 1 4 3 3 P X X X X X X X X X X X = − + + − + − + − = + − + ّ ونلاحظ بوجه خاص أنه 3 2 8 f       =     و 3 13 2 8 128 P       = +     ّ وأنه . 1 557 2 2 0.036 8 384 P       − = − ≈     و 1 7 1091 2 2 0.0064 2 8 768 P       − = − ≈     ّوأنه ّ ا السؤال أنه 2 = n 1 0, 1, − = = = x x x . 0 1 2 .4 نفترض فــي هذ .4 فــيحدث لدينا 0 1 ( ) ( 1) 2 و ℓ X X X = − 2 1 2 و ℓ ( ) 1 X X = − 1 ( ) ( 1) 2 ℓ X X X = + و 0 0 3 ( ) 2 ′ℓ و 2 2 1 1 ( ) 0 x = و ℓ′ x = − 3 ( ) 2 . ℓ′ x = ّ وعلــىه نستنتج أنه 2 2 2 2 0 0 2 2 2 2 1 1 2 2 2 2 2 2 1 1 ( ) ( 1) (3 4) ( ) ( 1) ( 1) 4 4 ( ) ( 1) ( ) ( 1) 1 1 ( ) ( 1) (4 3 ) ( ) ( 1) ( 1) 4 4 U X X X X V X X X X U X X V X X X U X X X X V X X X X = − + = − + = − = − = + − = + − نـاتحدثري 353 .4 يكن ل P كثير حدود لا تزيد درجته علــى 5 مـــن X[ ] ℝ ، ولنضع تسهيلاً للكتابة 1 1 0 0 1 1 P P P P P P P P P P P P (1) , (1) , (0) , (0) , ( 1) , ( 1) − − = = = = − = − = ′ ′ ′ ′ ′ ′ وليكن كثير الحدود Q ف كمـــا يلي : ّ المعر ( ) Q P P U PU PU P V PV PV −1 0 0 1 1 2 1 0 0 1 1 2 − = − + + + + + ′ ′ ′ ّ عندئذ نرى باليةة مباشر أنه ≥ Q 5 deg و 0 و 1 جذور مضاعفة ل كثير الحدود Q ّوأنه −1 الأعداد أنه يحدث ّ د ُ ً فلا ب Q ، أي معدومـــا P P U PU PU P V PV PV −1 0 0 1 1 2 1 0 0 1 1 2 − = + + + + + ′ ′ ′ .4 ليكن P كثير حدود مـــن X[ ] ℝ لا تزيد درجته علــى 4 ولنضع. 2 2 2 ( ) ( 1) n P n a n n = − 2 عندئذ يحدث ( ) n a O n− والمتسلسلة= 2 n n a ≥ ∑ متقاربة. ا ّ استنتجنا أنه ّ كان لـم ≥ P 4 deg ثابت 5 X فــي كثير الحدود P U PU PU P V PV PV −1 0 0 1 1 2 1 0 0 1 1 2 − + + + + + ′ ′ ′ يساوي 0 أي ( ) 1 1 ( ) 1 1 0 3 1 0 4 4 P P P P P − − − + + + = ′ ′ ′ ّ ونلاحظ أنه 0 0 2 2 2 2 2 2 2 1 1 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 ( ) 1 ( ) 3 4 , ( 1) 4( 1) ( 1) 4( 1) ( ) 1 ( ) 1 , ( 1) ( 1) ( ) 1 ( ) 4 3 , ( 1) 4( 1) ( 1) 4( 1) V n U n n n n n n n n V n U n n n n n n n V n U n n n n n n n n + = = − + − + = = − − − = = − − − − وعلــىه يحدث 1 0 1 1 0 1 2 2 2 (3 4) (4 3 ) 4( 1) 4( 1) 4( 1) 4( 1) n n P P n P P P P a n n n n n n − − + − ′ ′ ′ = + + + + + + − + − 354 كثيرات الحدود علــى حقل تبديلي ولكن 0 1 1 ( ) ( ) 1 1 3 1 4 4 P P P P P − − ′ = − − + ′ ′ إذن 1 1 0 2 2 2 1 1 1 1 4( 1) 4( 1) 1 1 3 1 1 3 1 4 1 4 n P P P a n n n P P P P n n n n − − − = + + + −     + − ′ ′ + − + −       +   − فنا وعلــىه ّ ، إذا عر 2 1 1 n n k S = k ∑ = كان لدينا ( ) 1 1 0 2 2 2 1 1 1 1 1 5 1 1 4 ( 1) 4 4 3 1 1 3 1 1 4 1 2 4 n k n n n k P P a S S P S n n P P P P n n − = − −         = + − + − + −            +    + − ′ ′     + − +        −   +        ∑ ّ تسعى إلــى اللااية استنتجنا أنه فإذا جعلنا n ( ) 2 1 0 1 1 1 1 1 0 2 11 16 12 2 4 4 24 16 n n P P P P P a P P P π ∞ − − − = + + + − ′ ′ ∑ = + + − وهي النتيجة المطلوبة. ú ℕ لحدود ا، كثير ∗ . نعرف، فــي حالة n مـــن ّ ً مـــن اال ]0,1[ ً حقيقيا Jالتمرين .33 ليكن λ مجموعةا Pn مـــن X[ ] ℂ بالعلاقة : i 2 i 2 ( ) ( 1) ( 1) n n P X e X e X n πλ − πλ = + − − عين .1 درجة ّ ( ) P Xn وثابت الحد الــذي الية أعلــى درجة فــيــه. xk إلــى المقدار (( ) )icot .2 نكود بالكود 2 k n . بين λ + أنه π ّ ( ) k 0 2 1 k n x ≤ ≤ − جذور هي . P Xn ودلكثير الحد ( ) ّ بالأكاونت مجموع الجذور الماضية، استنتج أنه .3 1 1 0 0 1 ( ) 1 ( 1 ) cot( ) cot cot 2 2 2 2 n n k k k k n n n n π λ π λ πλ − − = = + + − = ∑ − ∑ نـاتحدثري 355 ّ أنه .4 أثبت باشتقاق العلاقة الماضية بالالنسبة إلــى λ 1 2 2 2 2 0 1 2 2 2 2 0 1 1 ( ) ( 1 ) sin sin sin 4 2 2 1 1 ( ) ( 1 ) 1 cot cot sin 4 2 2 2 n k n k k k n n n k k n n n n π λ π λ πλ π λ π λ πλ − − − = − =  + + −  =  +         + + −  =   +   +     ∑ ∑ .5 استنتج ممـــا سبق وجود النهاية : 2 1 lim ( ) N N →∞ k N =− k + λ ∑ ، واحسب قيمتها بدلالة λ، واستنتج تقارب المتسلسلتين : 2 1 1 k (2 1) k ∞ = + 2 ∑ و 1 1 k k ∞ = احسب مجموعيهمـــا. ّ ∑ . ُثـــم أثبت أنه المتسلسلة ّ .6 ( ) 2 2 2 2 2 k 1 k k λ λ ∞ = + − ّ : متقاربة وأنه ∑ ( ) 2 2 2 2 2 2 2 2 1 1 2sin 2 k k k λ π λ πλ λ ∞ = + = − − ∑ الحـل ً ليكن λ مـــن اال ً حقيقيا مجموعةا ]0,1[ ف، فــي حالة ول. ّ نعر n مـــن ∗ Pn مـــن ℕ لحدودا، كثير بالعلاقة : ℂ[ ] X i 2 i 2 ( ) ( 1) ( 1) n n P X e X e X n πλ − πλ . = + − − ّ فــي الحقيقة، إن 2 deg .1 وثابت ، P n n ≤ 2n X فــيــه يساوي πλ isin2 إذن . deg 2 . P n n = k .2نكود بالكود x إلــى المقدار ( ) ( ) icot 2 k n Pn λ + . عندئذ نجد بالتعويض فــي π ّ أنه i( ) i( ) 2 2 2 2 i i 2 2 i i 2 ( ) 2 i i ( ) i i 2 ( ) 2 ( ) ( ) ( ) icot 1 icot 1 2 2 ( 1) sin ( 1) sin k k n n n n n k n n n n k n n k n k n k k P x e e n n e e e e e e e e π λ π λ πλ πλ πλ πλ π λ πλ π λ πλ π π λ π λ π λ + + − − − + − + − +  +   +  =  + −   −                −       =    −                      − = ( − ) ( ) ( ) 2 ( ) 2 ( 1) ( 1) ( 1) 0 sin k n k k n k n λ π λ + + − = − − − = 356 كثيرات الحدود علــى حقل تبديلي k وعلــى هذا تكون الأعداد { 2 0 : } ّ ولأنه هذه الأعداد . Pn ً لكثير الحدود جذورا x k n ≤ < ّ مختلفة مثنى مثنى نستنتج أا تمثل كل جذور ّ Pn َ . ويحدث مـــن ثـــم 2 1 0 ( ) 2i(sin ) ( ) n n k k P X πλ X x − = = ∏ − ّن ثابت X n 1 2 .3 نستنتج إذن أ Pn يساوي − فــي 2 1 0 2i(sin ) n k k πλ x − = ∑ − أو 2 1 2 1 0 0 ( ) 2 cot i cot 2 n n k k k k n x n π λ πλ − − = = + = − = ∑ ∑ وعلــىه 1 2 1 0 1 1 0 0 1 1 0 0 ( ) ( ) 2 cot cot cot 2 2 ( ) (2 1 ) cot cot 2 2 ( ) ( 1 ) cot cot 2 2 n n k k n n n k k n n k k k k n n n k n k n n k k n n π λ π λ πλ π λ π λ π λ π λ π − − = = − − = = − − = = + + = + + − − + = + +  + −  = + −         ∑ ∑ ∑ ∑ ∑ ∑ ومـــنه 1 1 0 0 1 ( ) 1 ( 1 ) cot cot cot 2 2 2 2 n n k k k k n n n n π λ π λ πλ − − = = + + − = ∑ − ∑ .4 ل ّ نتأم طرفــي المساواة الماضية بوصفها ل ّ توابع للمتحو λ علــى اال ]0,1[ فنجد بالاشتقاق ّ أنه بالالنسبة إلــى λ 1 2 2 2 2 0 1 1 ( ) ( 1 ) sin sin sin 4 2 2 n k k k n n n π λ π λ πλ − − − =  + + −  = +       ∑  2 وبالاستفادة مـــن العلاقة 2 1 1 cot sin θ θ ّ نستنتج أنه = + 1 2 2 2 2 0 1 1 ( ) ( 1 ) 1 cot cot sin 4 2 2 2 n k k k n n n n π λ π λ πλ − =  + + −  =   +   +   ∑  .5 وبالاستفادة مـــن المألوفة المتراجحة 0, , sin tan 2 x x x x   π ∀ ∈ ≤ ≤       نـاتحدثري 357 ّ نستنتج أنه 1 2 2 2 2 0 1 2 2 2 2 2 2 2 0 1 2 2 2 0 2 1 1 1 ( ) ( 1 ) cot cot sin 2 4 2 2 1 4 4 4 ( ) ( 1 ) 1 ( ) ( 1 ) sin sin 4 2 2 1 sin n k n k n k k k n n n n n n n k k k k n n n π λ π λ πλ π λ π λ π λ π λ πλ − = − = − − − =  + + −  − = +             ≤  +     + − −     + + −  ≤ +         = ∑ ∑ ∑ أو 1 2 2 2 2 2 0 1 1 1 1 1 1 sin 2 ( ) ( 1 ) sin n k πλ π λ λ n k k πλ − =     − ≤ + ≤        + − −  ∑ ُكافئ وهذا ي 1 2 2 2 2 1 1 1 1 1 sin 2 ( ) sin n k n πλ π λ n k πλ − =− − ≤ ≤ + ∑ ّ ونستنتج مـــن ذلك أنه 2 2 2 1 lim ( ) sin N N k N k π →∞ =− λ πλ = + ∑ فعلــى سبيل المثال، بالتحديد 1 2 ّ نستنتج أنه λ = 2 2 lim (2 1) N N k N k π →∞ =− 4 = + ∑ ومـــنه 2 2 2 0 1 1 1 lim (2 1) (2 1) 4 N N N k k k k π →∞ = =      + =     + −    ∑ ∑ أو 2 2 0 1 lim (2 1) 8 N N k k π →∞ = = + ∑ وهذا يثبت تقارب المتسلسلة 2 0 1 n (2 1) n ∞ = + أنه مجموعها يساوي يثبت ّ ُ ∑ و 2 8 π . 358 كثيرات الحدود علــى حقل تبديلي ّن ومـــن جهة أخرى، بملاحظة أ 2 2 1 1 (2 1) 4 n n ≤ + ً فــي حالة 1 ≤ n ، نستنتج أيضا تقارب المتسلسلة 2 1 1 n n ∞ = ∑ فإذا كودنا بالكود S إلــى مجموعها كان لدينا 2 2 2 0 1 1 1 1 (2 1) (2 ) 8 4 n n S S n n π ∞ ∞ = = = + = + + ∑ ∑ و ّ َ مـــن ثـــم 2 6 S π . = ّ لنلاحظ أنه .6 2 2 2 2 1 1 2 2 2 1 2 2 2 2 2 2 1 1 1 1 1 ( ) ( ) ( ) 1 1 1 ( ) ( ) 1 2 ( ) N N N k N k k N k N k k k k k k k k λ λ λ λ λ λ λ λ λ λ =− = = = = = + + + + − +     = +  +       + −  + = + − ∑ ∑ ∑ ∑ ∑ ً علــى نتيجة السؤال السابق نستنتج تقارب المتسلسلة إذن اعتمـــادا 2 2 2 2 2 k 1 ( ) k k λ λ ∞ = + − ّ وأنه ∑ 2 2 2 2 2 2 2 2 1 1 k ( ) 2sin 2 k k λ π λ πλ λ ∞ = + = − − ∑ ة. ّ وهي النتيجة المرجو ú . P X X aX b ( ) = + + 4 ، ولنتأمل ّ ℝ 2 J نالتمري .34 ليكن ( ,b a (مـــن ّ .1 أوجد، بدراسة التابع ( ) ֏ x P x، الشرط اللازم والكافــي علــى b a ) , ( لا يحدث لكثير حتى الحدود ( )X P ة. ّ جذور حقيقي .2 ان ّ ّه يوجد كثيرا حدود حقيقي أثبت أنه ( ) 2 ( ) و Q X X X = + + α β 2 R X X X = + + λ µ ُيح قان ق . P X Q X R X ( ) = ⋅ ( ) ( ) نـاتحدثري 359 2 .3 أوجد علاقات بسيطة بين , , , µ λ β α والمجموعةين a و b ّ . واستنتج أنه حل هـــو Z = λ طلب إعادةها. ُ لمالعودةلة مـــن الدرجة الثالثة ي .4 فــي ّ 1 4 حل ℂ المالعودةلة 2 0 2 .X X + + = الحـل .1 ل التابع ّ لنتأم ֏ ( ) : x P x f . يقبل التابع f جدول التغيرات القادم 3 3 2 /2 ( ) 0 ( ) 3 2 /8 x a f x f x b a a −∞ − +∞ ′ − + +∞ − ց ր −∞ لاذن إ شرط اللازم والكافــي ّ حتى لا يحدث لكثير الحدود ( )X P ة ّ هـــو جذور حقيقي 3 3 2 0 8 اذوه كافئ b a a − > ُ ي 3 4 . 256 27 b a > ّ نعلم أنه كثيرات الحدود غير الخزولة فــي X[ ] ℝ هي تلك التــي تكون مـــن الدرجة الأ مـــن ولى، أو .2 ة. و ّ الدرجة الثانية وليس اليةا جذور حقيقي ا ّ ً مـــن الدرجة الرابعة، كان لـم P كثير حدود واحدي ا ة غير خزولة مـــن الدرجة الأولى والدرجة ّ ُكتب بالمـــن الضروري جداء كثيرات حدود واحدي ّه ي استنتجنا أنه الثانية. فإذا كان أحدها مـــن الدرجة الثانية أسميناه Q وأسمينا R خارج قسمة P علــىه، وإذا كانت كلها مـــن الدرجة الأولى أسمينا Q ضرب جداء اثنين مـــنها، وأسمينا R خارج قسمة P علــىه. ّه يوجد كثيرا حدود : وهكذا نستنتج أنه 2 و Q X X X ( ) = + + α β 2 R X X X ( ) = + + λ µ ّقان ق P Q R = ⋅ يحُ . .3 وعندئذ يحدث 4 3 2 QR X = + + + + + + + + ( ) ( α λ β µ αλ λβ µα βµ X ) ( ) X X ّق المساواة وتتحق ⋅ = R Q P إذا وفقط إذا كان α λ β µ αλ λβ µα βµ + = + + = + = = 0, 0, a b , ُكافئ وهذه الشروط ت 2 α λ β µ λ λ β µ βµ = − + = − = = , , ( ) , a b 360 كثيرات الحدود علــى حقل تبديلي ّ نستنتج مـــن الشرطين الثاني والثالث أنه 3 λβ λµ λ λβ λµ + = − = , a, ّ َ ومـــن ثـــم 3 3 2λβ λ λµ λ = + = − a, 2 a, استنتجنا أنه ّ βµ = b الشرط مـــن استفدنا وإذا 2 6 2 فنا 4λ λ b a = − ّ ً إذا عر . وأخيرا 2 λ = Z كان لدينا 3 2 Z bZ a − − = 4 0 ّ .4 ة الموافقة لكثير الحدود ّل الحالة المعلن 1 4 لنتأم ( ) 2 2 a = 2 أي ،P X X X = + + و 1 2 = b. فــي هذه الحالة تكون 2 λ = Z للمالعودةلة حلاً 3 0 4 2 = − − Z Z. وعلــىه يمكننا أنه 2 = λ . فــيحدث عندئذ نختار مثلاً ّ 1 2, 2, 2( ) 2, 2 α β µ β µ βµ = − + = − = = ّ َ ومـــن ثـــم 1 1 2, 1 , 1 2 2 α β = − = + = − µ ومـــنه 4 2 2 1 ( ) 2 2 1 1 2 1 2 1 2 2 P X X X X X X X = + +    = + + − − + +             فجذور P فــي ℂ هي 1 i 2 1 1 i 2 1 1 2 1 1 2 1 , , , 2 2 2 2  + + − + − − + −          وهـــو المطلوب. ú 361 الحـقول ّ سنستعرض لكم فــيمـــا يلي تقنيتين م ه فــيدان تين تم همـــا فــي بناء الحقول حقل الكسور الموافق لحلقة ة بمثالي أعظمي. ّ تامة، وحقل خارج قسمة حلقة تبديلي ّ .1 ـة حقل الكسور الموافق لحلقة تام لتكن A ة ولنضع ّ حلقة تام { }0 A A ∗ العلاقة A A × ∗ لنعرف علــى اموعة  ّ = . ُثـــم الثنائية R كمـــا يلي : (a b a b ab ba , , )R( ′ ′ ′ ′ ) ⇔ = وقانوني التشكيل الداخليين + ( ) و ⋅( ) الآتيين ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) , , , , , , a b a b ab a b bb a b a b aa bb + = + ′ ′ ′ ′ ′ ⋅ = ′ ′ ′ ′ إن + ( ) القانونين ّ و ⋅( ) ّ ان وتبديليتكلي ان ويقبلان علــى التوالي العنصرين الحياديين (0,1) و(1,1) ُ ، ثـــم ّ إمـــا متجانسان مع علاقة التكافؤ R أي مهمـــا يكن X و Y و Z و T مـــن A A∗ × يكن ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) , . X Z Y T X Y Z T X Z Y T  + +  ∧ ⇒   ⋅ ⋅  R R R R فــي هذه المعلنـــة تفــيد تزويد تكلة صفوف التكافؤ A A A /( ) ∗ R = × FR بقانوني الجمع والضرب المتوافقين مع مـــا سبق ف ، يه ّ نحصل علــى حقل تبديلي نسم حقل كسور الحلقة التامة A. a وقد جرت الالعودةة أنه نكود إلــى صف التكافؤ [( ,b a [(بالكود b ً ، ون بسطُه أو صورته يه كسرا ّ سم a ومقامه أو مخرجه b . ويحدث التطبيق ,( ) : 1 a ،ً ً متباينا ا ّ حلقي ًتشاكـــلا j A A a → FR ֏ ً ّ إن يفــيدنا بالمطابقة بين عناصر A وعناصر ( )A j فنقول تجاوزا A حلقة جزئية مـــن A( ) FR . فمثلاً A هي حلقة الأعداد السليمة ℤ كان حقل كسور الحلقة ℤ هـــو حقل إذا كانت ً ةالكسور الالعودةي ℚ علــى الإ . سندرس فــيمـــا يلي بكل تفاصيالية مثالاً السابق. نشــاء مهمـــا الفصل الخامس المعهد العالي للعلوم ا sy.edu.hiast.www لتطبيقية والتكندخوليا 362 الحقول .2 ّ ّة علــى حقل تبديلي حقل الكسور الالعودةي ً ليكن K . ولتكن تحول واحد علــى K لقد . تبديليا  حقلاً X[ ] K حلقة كثيرات الحدود بم ً مـــنها علــى ّ عند دراسة كثيرات الحدود أنه الحلقة X[ ] K انطلاقا وجدنا ُ نحصل ّ َ ة، ومـــن ثـــم ّ حلقة تام ، هـــو حقل كسورها، عند تطبيق ا ّ حقل تبديلي لإنشــاء السابق. ومـــنه التعريف القادم : .1-2 تعريف. ي ّ نسم ة ّ حقل الكسور الالعودةي ّ علــى حقل تبديلي K ة ّ ، حقل كسور الحلقة التام .K( ) X بالكود إليه ونكود ،K[ ] X ا إن ّ قلن . K( ) X ً كان وإذا F مـــن عنصرا P Q ّ تمثيل غير خزول للكسر F ق إذا وفقط إذا حق ،: الشرطين K K [ ] ( [ ] 0 ) X X × { } مـــن ) , ( P Q العنصر P F Q gcd( , ) 1 P Q = و= ومـــن ا مـــن ّ ّ لواضح أنه X( ) K لكـــل كسر العودةي تمثيلاً غير خزول. .2-2 مبرهنة وتعريف. ن ليك F مـــن X( ) K . عندئذ لا يتعلّق المقدار − Q P deg deg مـــن بالممث ل ℤ ∪ +∞ { } P Q للكسر F يه ّ . ونسم درجة الكسر F ونكود إليه بالكود . degF نتان فــي المبرهنة المقبلة، التــي ّ تان المبي ّ  وكمـــا فــي حالة كثيرات الحدود تالتحــقق المعلن ً نترك إثباا البسيط تمرينا للقارئ. A .3-2 مبرهنة . ليكن الكسران B و C D مـــن X( ) K . عندئذ يحدث : ( ) ( ) ( ) deg max deg ,deg deg deg deg A C A C B D B D A C A C B D B D + ≤ ⋅ = + ّة علــى حقل تبديلي 363 حقل الكسور الالعودةي P .4-2 تعريف . نليك F مـــن X( ) K وليكن . Q تمثيلاً F ّ . نقول إن a مـــن غير خزول للكسر ٌب ً Q ّ . ونقول إن a قط ٌب للكسر F، إذا وفقط إذا كان a ل كثير الحدود جذرا K، قط ً مـــن المرتبة ً مضاعف مـــن المرتبة m إذا وفقط إذا كان a مضاعفا جذرا m كثير الحدود ل .Q 2 .5-2 مبرهنة وتعريف. ن ليك F مـــن X( ) K. عندئذ لا يتعلّق الكسر Q P P Q Q ⋅ − ⋅ ′ ′ P بالممثل Q للكسر F يه ّ ّ . ونسم مشتق الكسر F ونكود إليه بالكود ′F ق . وتتحق : المقبلةالخواص ( ) ( ) ( ) F G F G F F F G F G F G α α + = + ′ ′ ′ ′ ′ = ⋅ = ⋅ + ⋅ ′ ′ ′ وذلك مهمـــا يكن F و G مـــن X( ) K و α مـــن K . ّ .6-2 ة فــي تفريق الكسور P المبرهنة الأساسي . ن ليك F مـــن X( ) K وليكن . Q ثيلاً غير خزول تم ّ . نفترض أنه للكسر F 1 ( ) i p i i Q Q α = Qp كثيرات حدود غير 2Q و ⋯ و 1Q و ∏ = و ، خزولة ومختلفة مثنى مثنى. عندئذ يوجد كثير حدود وحيد E وجمـــاعة وحيدة مـــن كثيرات ∆∋( , ) j i Aij ( ) تها هي تكلة أدلّ الحدود 1 ({ } ) k p k k α = ُ يحق ℕ ∆ = × ∪ قان مـــا يلي : 1 1 ( , ) , deg deg ( .1 .2 ) i ij i p ij j i j i i j A Q A F E Q α = = ∀ ∈ ∆ <     = +         ∑ ∑ الإثبات  ، وتعطي فــي افــي ذا ةمـــنها بسيطة مرحل ل يجري إثبات هذه المبرهنة بتجزئته إلــى أقسام ك ة. ّ مجموعها الحالة العام 364 الحقول ليكن الكسر P F Q ّ يحق = فــي عندئذ يوجد X[ ] K كثير حدود وحيد E ق deg( ) 0 F E − < 2E ة المطلوبة كان 1E و ّ فــي الحقيقة، إذا كان يحققان المعلن ( ) ( ) 1 2 2 1 2 1 deg( ) deg ( ) ( ) max deg( ),deg( ) 0 E E F E F E F E F E − = − − − ≤ − − < ّ وهذا يثبت أنه = 2 1 E E . ومـــن ناحية أخرى، إذا أخذنا E ة ل ّ خارج القسمة الإقليدي كثير الحدود P علــى Q، وكان R هـــو R باقي هذه القسمة، كان 0 deg( ) deg F E Q   − = <       . ليكن 1 2 P F Q Q ة ّ ثنائي توجد عندئذ . gcd( , ) 1 Q Q1 2 = و deg 0 F < ً = فــيــهكسر ا 2 وحيدة 2 1U U ) , ( مـــن ( ) X[ ] K ق ُ :تحق 1 2 1 2 U U F Q Q deg deg U Q 2 < 2 و deg deg U Q 1 < 1 + = و لاً ّ أنه الثنائيتين ّ ُتحققان المطلوب، عندئذ ينتج مـــن ∗ ∗ فــي الحقيقة، لنفترض أو 2 1U U ) , ( و 2 1U U ) ,( المساواة 1 2 1 2 1 2 1 2 U U U U Q Q Q Q ∗ ∗ + = + ( ) ( ) U U Q U U Q 1 1 2 2 2 1 أنه ّ ∗ ∗ ُ − = − ّ ، أي إن 1Q يقسم 1 1 2 ( ) U U Q∗ ّ − لي مع وهـــو أو Q2 َ 1 1 U U  . فلا بد أنه يقسم ∗ U U 1 1 0 أنه ّ − . وهذا يقتضي ∗ deg( ) U U 1 1 لأنه ّ − = ∗ − ً مـــن 1degQ ّ . بذا نكون قد أثبتنا أنه 1 1 U U أصغر تمـــامـــا ∗ U U 2 2 ّ = َ ومـــن ثـــم ∗ ّ = بذا . و يحصل ة. ّ إثبات الجزء المتعلّق بالوحداني ً إلــى مبرهنة Bézout ة و مـــن ناحية أخرى، نجد استنادا ّ 2 T T ) , ( مـــن ( ) 2 1 ثنائي ّ تحق ق K[ ] X T Q T Q 2 1 1 2 + = 1 يحدث ّ ل ة PT Q PT Q P 2 1 1 2 + = ثـــم ومـــن َ ّ 2PT علــى ُ . ثـــم ُ نجري قسمة إقليدي كثير الحدود Q2 لنجد deg deg U Q 2 < 2 مع PT S Q U 2 2 2 = + ّة علــى حقل تبديلي 365 حقل الكسور الالعودةي ّف أو P U Q U Q = + 2 1 1 2 أولى جهة مـــن لدينا فــيحدث ،U PT S Q 1 1 1 = + ونعر 1 2 1 2 1 2 P U U F Q Q Q Q = = + ومـــن جهة ثانية، 1 2 2 1 2 2 deg deg max deg ,deg 0 U U U F F Q Q Q     = − ≤         <       أو deg deg U Q 1 < 1 . ة الماضية بالتدريج علــى ال ّ بالطبع يمكن تعميم المعلن : الآتي وجه ليكن 1 2 r P F Q Q Q = ⋯ ً فــيــه 1Q كسرا > F 0 deg وكثيرات الحدود ، ،Qr و ⋯ و ة فــيمـــا بينها مثنى مثنى. عندئذ يوجد عنصر وحيد ّ لي ّ 1 أو ( , , ) U U … r مـــن ([ ] ) r ُ :يحّق ق K X 1 2 1 2 r r U U U F Q Q Q ∀ ∈i ℕr i , deg deg U Q < i ⋯ + + + = و ليكن الكسر P F Q = α جدير بالذكر > F 0 deg و α مـــن ∗ ℕ . عندئذ يوجد عنصر وحيد 1 ( [ ] X ) مـــن ) , , ( P P … α α ُ :يحق K ق 1 2 2 P P P F Q Q Q α = + + + ⋯ α ∀ ∈i ℕα, deg deg P Q i < و ّ سليمة وأنه فــي الحقيقة، لا يوجد مـــا ضروري إثباته فــي حالة 1 = α ّ . لنفترض أنه 1 < α النتيجة ، عند القيمة 1 − α ة ل ّ ّ فنجد أنه ُ . عندئذ نجري قسمة إقليدي كثير الحدود P علــى Q deg deg P Q α < مع P T Q P = + α فنا ّ 1 فإذا عر P P F Q Q α = −α α ،كان ، deg max(deg ,deg ) 0 1 P F F Q α > α ≤ ومـــن جهة 1 1 ثانية T F Q = α− ْض التدريج عنصر قتضى فر ُ −α … P P ) , , ( مـــن 1 1 ، لذلك يوجد بم ( ) 1 [ ] X α− ُ يحّق K ق 1 2 1 1 2 1 P P P F Q Q Q α α − = + + + ⋯ − ∀ ∈i ℕα−1 , deg deg P Q i < و ُكمل إثبات الوجود فــي حالة ً للقارئ. وهذا ي α ة فهـــو سهل ونتركه تمرينا ّ ا إثبات الوحداني ّ . أم 366 الحقول ّ ة، ولنفترض أنه ِ لنأت إلــى إثبات المبرهنة الأ ّ 2 1 ساسي 1 2 p p P F Q Q Q Qp 1Q و ⋯ و و = α α ⋯ α كثيرات حدود غير خزولة مختلفة مثنى مثنى. عندئذ ت لاستفادة مـــننجد با ّ ين المعلن و كثيرات 1U الحدود E و ّ و ⋯و Up مـــن X[ ] K ق، ُ تحق 1 ( ) i p i i i U F E Q α = ( )∗ = + ∑ , deg 0 ويحدث ( ) i i p i U i Q α Q1 1 > ℕ ∀ ∈ ّ ، لأنه كثيرات الحدود α و ⋯و p Qp α ة فــيمـــا بينها ّ أولي ن ّ ُ مثنى مثنى. ثـــم ة ستعمل ّ ً المعلن كان ℕp لنجد، أيا i مـــن ، ( , , , ) 1 2 i A A A i i i … α ( [ ]) مـــن K X αi ّ طو ق الشر تحق 1 ( ) i i i ij j i i j U A Q Q α α = ∀ ∈j ℕαi , deg deg A Q ij < i ∑ = و وهذا بعــد التعويض فــي العلاقة ∗( ) كمل الإثبات. ُ ي P .7-2 نتيجة وتعريف. ن ليك F مـــن X( ) ℂ. وليكن Q تمثيلاً F. يمكننا أنه غير خزول للكسر ّ نفترض أنه 1 ( ) i p i i Q X a α = ap هي أقطاب F، و 1α، 2a و ⋯ و 1a و − ∏ = جدير بالذكر α2 ،⋯، αp مـــنها  هي رتب مضاعفة كـــل بالترتيب. عندئذ يوجد كثير حدود وحيد E ، ∆∋( , ) j i λij ( ) مـــن ℂ تها تكلة أدلّ وجمـــاعة وحيدة 1 ({ } ) k p k k α = ُ يحق ℕ ∆ = × ∪ قان 1 1 ( ) p i ij j i i j F E X a α λ = =     = +     −    ∑ ∑ ّي نسم E الجزء السليم فــي الكسر F ي المقدار ّ ، ونسم 1 2 2 ( ) ( ) ( ) i i i i i X ai X ai X ai α α λ λ λ + + + − − − ⋯ ا ّ ai لجزء القطبي الموافق للقطب لكسرفــي ا F ي المجموعة ّ ً نسم 1 λi ، وأخيرا راسب الكسر .ai F عند القطب ّة علــى حقل تبديلي 367 حقل الكسور الالعودةي P .8-2 يفنتيجة وتعر . ن ليك F مـــن X( ) ℝ . وليكن Q تمثيلاً F. يمكننا أنه غير خزول للكسر ّ نفترض أنه 2 1 1 ( ) ( ) i i p q i i i i i Q X a X b X c α β = = = ∏ − ⋅ ∏ + + 1a جدير بالذكر αp هي رتب مضاعفة 2α و ⋯ و ap هي أقطاب F، و 1α و 2a و ⋯ و و مـــنها  ثنائياتالو الترتيب. بكـــل (( , )) q i i i b c ∈ℕ ّ فــي حالة وتحق i مـــن ق ،مختلفة مثنى مثنى ℕq المتراجحة 2 0 4 > − i i c b. عندئذ يوجد كثير حدود وحيد E وجمـــاعة وحيدة ة تكلة أدلّتها هي ّ ∆∋( , ) j i λij ( ) مـــن الأعداد الحقيقي 1 ({ } ) k p k k α = ،∆ = × ∪ ℕ وجمـــاعتان وحيدتان Γ )∈, ( j i µij ( ) و Γ )∈, ( j i νij ( ) ة تكلة أدلّتهمـــا هي ّ مـــن الأعداد الحقيقي 1 ({ } ) k q k k β = ℕ = × ∪ Γ : بجدير بالذكر يحدث، 2 1 1 1 1 ( ) ( ) p i q i ij ij ij j j i j i i j i i X F E X a X b X c α β λ µ ν = = = =    +      = +   +        −   + +      ∑ ∑ ∑ ∑ عناصر بسيطة مـن النـوع الثـاني عناصـر بسـيطة مـن النـوع الأول ّ .9-2 ئبعض الطر ا ة فــي تفريق الكسور مـــن ق العملي X( ) ℂ أو X( ) ℝ إلــى عناصر بسيطة ة للبسط علــى المقام. ّ ُ للحصول علــى الجزء السليم نجري قسمة إقليدي بعــد تفريق المقام إلــى جداء كثيرات حدود غير خزولة، نكتب التفريق المطلوب بدلالة ثوابت ُ مجهـــولة، ثـــم يجري إعادة الثوابت. فإذا كانت الأقطاب بسيطة، أو مضاعفة ، ولكن رتب مضاعفتها صغيرة (1 أو 2)، يمكننا إعادة هذه الثوابت بتوحيد المقامـــات والمطابقة، إذ نحصل علــى جملة ة. ولكن بوجه عام تعتبر هذه الاليةة آخر مـــا نلج ّ مالعودةلات خطي أ إليه، وذلك لطول مـــا تتطلّبه مـــن الأكاونتات. مثال .1 ل الكسر الالعودةي ّ 2 2 لنتأم 1 ( ) ( 1) F X X X = − . نعلم مـــن الدراسة العا ة أنه ّ ً إلــى عناصر بسيطة مـــن الشكـــل م F يقبل تفريقا 2 2 ( ) 1 ( 1) a b c d F X X X X X = + + + − − ( )∗ 368 الحقول F X F X (1 ) ( ) − = أنه نلاحظ ّ إذن 2 2 2 2 ( ) 1 ( 1) 1 ( 1) a b c d F X X X X X a b c d X X X X = + + + − − − − = + + + − − او ّ ً لـم وجب أنه يحدث كان التفريق وحيدا = c d و − = b a . المساواة ّ 2 مـــن جهة أخرى بضرب طرفــي ∗( ) المقدار ب ً ّ 0 = X نجد 1 = c . وأخيرا X تعويض ُ ثـــم 1 1 بالأكاونت − (1 )F تين نجد بالية 1 4 2 4 a a + + + − = أو 2 = a . إذن يحدث 2 2 2 2 1 2 2 1 1 X X (1 ) X X 1 X X( 1) = − + + − − − F P ً للكسر ً بسيطا Q إذا كان .حالة قطب بسيط a قطبا ّ = المواف كان، الجزء القطبي ق للقطب a فــي الكسر F هـــو ( ) ( ) ( ) P a X a Q a − ′ . Q X X a R X ( ) ( ) ( ) = − أنه نعلم ،الحقيقة فــي ّ يحدث لذلك .R a Q a ( ) ( ) 0 = ≠ ′ جدير بالذكر ً لكثير الحدود a جذرا ( ) ( ) P a P R Q a − ′ فهـــو يقبل القسمة علــى − a X كثير حدود أي يوجد ق T X( ) ّ ُ يحق ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) P a P X R X X a T X Q a − = − ′ ّ وهذا يثبت أنه ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) P X P a T X F X Q X X a Q a R X = = + − ′ ّ ثبت المطلوب لأنه ُ ً وي a للكسر ليس قطبا ( ) ( ) T X R X . ∗ مثال .2 ليكن n مـــن ُ كثير حدود يحّق > n degP ل ق ℂ[ ] X مـــن P وليكن ،ℕ ّ . لنتأم الكسر الالعودةي ( ) ( ) 1 n P X F X X = − ّة علــى حقل تبديلي 369 حقل الكسور الالعودةي k بوجه عام هي الجذور مـــن المرتبة n للواحد أي { 0 : } ّ إن F أقطاب جدير بالذكر ω ≤ n degP ل . ق ℂ[ ] X مـــن P وليكن ،ℕ ّ لنتأم الكسر الالعودةي ( ) ( ) ( 1 2 )( ) ( ) P X F X X X X X n = − − − ⋯ إن F أقطاب بوجه عام هي الأعداد { n … , 0,1,{، وهي جمي عها بسيطة. إذن ّ 0 ( ) n k k F X X k λ = = ∑ − ا ّ λk أم فتساوي ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( 1) ( ) 1 1 1 ! ! n k k P k P k k k k n k n k λ − − = = − ⋅ − − ⋅ − ⋯ ⋯ ومـــنه ( )( ) ( ) 0 ( ) 1 ( 1) ( ) 1 2 ! n n k k n k P X C P k X X X X n n X k − = − = − − − − ⋯ ∑ 370 الحقول F P مضاعف مـــن المرتبة m للكسر قطب ٌ ٌ ّ لنفترض أنه a Q حالة قطب مضاعف . = ، أي 1 ( ) ( ) ( ) m و Q X X a Q X = − ⋅ 1 . Q a( ) 0 ≠ ل نقوم فــي هذه الحالة بإجراء تغيير للمتحو + = a T X فنجد ( ) ( ) ( ) m A T F T a T B T + = ⋅ و .ا B T Q T a ( ) ( ) = + 1 و A T P T a ( ) ( ) = + و ّ كان الشرط لـم 1 B Q a (0) ( ) 0 = ≠ ً ُ أمكننا أنه نجري قسمة وفق القوى التي تزداد ل محققا كثير الحدود ( )T A علــى ( )T B المرتبة ّ حتى 1 − m فنجد 1 1 1 ( ) ( ) ( ) ( ) m m A T B T λ λ m m T T T R T λ − = ⋅ + + + + − ⋯ يحدث ّ َ ومـــن ثـــم 1 ( ) ( ) ( ) m m R T F T a T T B T λ λ + = + + + ⋯ ل أو بعودة مرة أخرى إلــى المتحو X : 1 1 ( ) ( ) ( ) ( ) m m R X a F X X a X a Q X λ λ − = + + + − − ⋯ للكسر ّ  وهذا يبين ّ أنه F الموافق للقطب a هـــو الجزء القطبي 1 ( ) m k k k X a λ ∑= − ّ ، لأنه a ً ليس قطبا للكسر 1 ( ) ( ) R X a Q X − . مثال .4 ل الكسر الالعودةي ّ لنتأم 3 2 1 ( ) ( 1) ( 1) F X X X = − + فإذا وضعنا 1 + = T X وجدنا 3 2 3 2 1 1 ( 1) (2 ) (4 4 ) F T T T T T T + = = ⋅ + ⋅ + + وبإجراء قسمة وفق القوى التي تزداد ل لمجموعة 1 علــى 2 T T + + 4 4 حتى المرتبة 2 نجد 2 1 1 3 2 3 1 3 4 4 16 2 16 1 (4 4 ) ( = + + ⋅ − + − + T T T T T T ) ( ) ّة علــى حقل تبديلي 371 حقل الكسور الالعودةي ومـــنه 1 3 2 16 3 2 2 1 1 3 (1 ) 4 4 16 ( 2) T F T T T T T + + = − + − + ل ّ وبعودة مرة أخرى إلــى المتحو X نجد 3 2 2 1 1 3 5 3 ( ) 4( 1) 4( 1) 16( 1) 16( 1) X F X X X X X + = − + − − − + − ً ّ بملاحظة أنه وأخيرا X X + + = +) 1( 3 2 3 5 نجد ( ) ( ) ( ) 3 2 2 1 1 3 1 3 ( ) 4( 1) 4( 1) 16 1 8 1 16 1 F X X X X X X = − + − − − − − + + حالة العناصر البسيطة مـــن النوع الثاني فــي X( ) ℝ . يمكننا فــي مثل هذه الحالة إجراء ّ الالأكاونتات فــي X( ) ℂ انتقل إلــى ُ ثـــم X( ) ℝ باع اليةة ُكن ات بجمع العناصر المترافقة. وكذلك يم نة. سنعرض فــي المثال القادم تقن ّ الثوابت غير المعي ة أخرى قي د تكون مفــيدة فــي بعض الحالات. مثال .5 ل الكسر الالعودةي ّ لنتأم 2 2 3 1 ( ) ( 1) ( 1) F X X X = − + 2 والمطلوب تفريقه إلــى عناصر بسيطة فــي X( ) ℝ . لنضع 1 + = X T ولنضرب بسط ومقام 2 الكسر السابق ب كثير الحدود + X) 1 ( فــيحدث 2 3 2 3 2 ( 1) 2 ( ) (2 ) (4 4 ) X X T F X T T T T T + + = = ⋅ − ⋅ − + ُثـــم نقوم بإجراء قسمة وفق القوى التي تزداد فــي [ ](T X(ℝ كثير الحدود ل + T X2 علــى 2 T T + − 4 4 حتى المرتبة 2 فنجد 2 2 3 2 1 3 2 2 (4 4 ) 2 4 8 4 3 3 2 4 8 X X X X T T T T T X X T T  + +  + = − + ⋅ + +        + +  +  −      ّ ومـــنه نستنتج أنه 3 2 2 2 1 3 2 8 6 (3 2) ( ) 2 4 8 8(2 ) X X X X X T F X T T T T + + + − + = + + + − 372 الحقول لكنو 3 2 2 8 6 (3 2) 3 2 5 4 ( 1) ( 3 4) X X T X X X X X + − + = − − + + = + − + و 2 2 2 (2 ) ( 1) ( 1) − = + − T X X إذن ( ) ( ) ( ) ( ) 3 2 2 2 2 2 2 1 3 2 3 4 ( ) 2 1 4 1 8 1 8 1 X X X X F X X X X X + + − + = + + + + + + − ً ّ بملاحظة أنه وأخيرا X X 1) 1( 3 4 3 + − − = + − نجد 2 3 2 2 2 2 2 1 3 2 1 3 ( ) 2( 1) 4( 1) 8( 1) 8( 1) 8( 1) X X X F X X X X X X + + = + + + − + + + − − ّ .3 ة حقل خارج قسمة حلقة تبديلي مثالي أعظميعلــى ً A ف العلاقة الثنائية ن لتك (⋅ + , ,A (حلقة تبديلية. وليكن I فــي مثاليا ّ RI . نعر علــى ً لدينا أي A علــى الوجه الــذي بات مألوفا 2 ∀ ∈ ( , ) , x y A x y x y RI ⇔ − ∈ I ّ يثبت القارئ بسهـــولة أنه A هذه العلاقة علاقة تكافؤ علــى ئها ُ ، ونكود العودةة إلــى صفوف تكاف بالكود I/A. و إذا كان X و Y عنصرين مـــن I/A، كانت اموعات المقبلة X Y x y x y X Y + = + ∈ × { : ( , ) } − = − ∈ X x x X { : } و X Y x y x y X Y ⋅ = ⋅ ∈ × { : ( , ) } و لنا هذه الملاحظة تعريف قانوني تشكيل داخليين (+) َ صر مـــناتكافؤ، أي عن وفصف I/A تيح. ت و(⋅) علــى I/A، يجعلان مـــنها حلقة تبديلية، حيادي الجمع فــيــها هـــو [ 0] = I ير، ونظ X ُ بالالنسبة إلــى الجمع هـــو X،− وحيادي الضرب فــيــها هـــو [1] ّى هذه الحلقة ُسم . ت حلقة خارج قسمة الحلقة A علــى المثالي I . ة 373 ّ حقل خارج قسمة حلقة تبديلي مثالي أعظميعلــى  عن مثالي M .1-3 تعريف . نقول ّ فــي حلقة تبديلية (⋅ + , ,A (ه ، إن ّ مثالي أعظمي إذا كان ان الوحيدان فــي A اللذان يحويان M ول ، أو بق ّ M ≠ A وكان A و M همـــا المثالي  آخر إذا التحــقق، أيا I فــي A ، الشرط ً كان المثالي M I I M I ⊂ ⇒ = ∨ = ( ) ( ) A ً فــي حلقة تبديلية .2-3 مبرهنة . ليكن M ا ّ مثالي (⋅ + , ,A(، تجد هنالك تك افؤ بين ّ المثالي M فــي مثالي أعظمي A . ُ خارج القسمة M/A . ّ حلقة تبديلي ٌ حقل الإثبات ّن لنفترض أولاً M فــي أ ّ ً مثالي أعظمي A كن. ولي = X x [ ] مـــن اموعة عنصرا .ا) A/ 0 M) { } ّ عن ا M، ) ّ ان ك وإلا ً كان المثالي لـم A x ⋅ + M ي يحو M ومختلف عنصر a ٌ A فــيوجد . فــي M + ⋅ = x A A يحدث أنه وجب ،] )0 [X = و x ∈ M يوجد في و M ٌ ق قان m عنصر m x a + = 1 يحُ إذن .A/M في] [ ] [ ] 1 [x a ⋅ = أو ، َ العناصر غير المعدومة في M/A لوبة و ق M/A حقل. ّ وبالعكس، لنفترض أن M/A ً حقل، وليكن I في ّ مثاليا A ق، ُ يحق M I ≠ و M I ⊂ ً ٍ عنصرا نأخذ حينئذ x من M I ، فيكون =/ x] 0 [ ] [في إذن ، A ٌ ُ يح عنصر a ق ق = ⋅ a x] 1 [ ] [ ] [فــي M/A. فمـــن جهة أولى، يحدث I ∈ a x، ومـــن جهة ثانية، يحدث فــي M فالمثالي .A = I ثـــم ومـــن ، َ 1 ∋ I إذن .)1 ( − ⊃ ∋ x M I ّ مثالي أعظمي الحلقة A. .3-3 تعريف. نقول ّ إن ّ ً مثالي ا P فــي حلقة تبديلية (⋅ + , ,A(، ّ مثالي أولي إذا وفقط إذا كان P ≠ A والتحــقق الشرط ، ( ) ( ) 2 ∀ ∈ ⋅ ∈ ⇒ ∈ ∨ ∈ ( , ) , x y A x y x y P P P 374 الحقول ً فــي حلقة تبديلية .4-3 مبرهنة . ليكن P ا ّ مثالي (⋅ + , ,A(، تجد هنالك تكافؤ بين ّ المثالي P فــي مثالي أولي A . ُ خارج القسمة P/A تامة. حلقة الإثبات ً للقارئ. الإثبات واضح مـــن التعريف السابق، ونترك التفاصيل تمرينا .5-3 مبرهنة . لتكن (⋅ + , ,A (حلقة تبديلية. • فــي ّ إن A كـــل مثالي أعظمي ّ أولي. مثالي • إذا كانت A مختلف عن ّ حلقة رئيسية، فكـــل مثالي أولي {0} فــي A أعظمي. مثالي ً • إذا كانت A حلقة رئيسية، و p غير خزول فــي عنصرا A فإن المثالي A p . ّ أولي الإثبات ً ليكن M فــي ا ّ مثاليا A ً أعظمي ٌ . إذن الحلقة M/A ُ ، فهي حلقة تامة ٌ ً حقل إلــى سوا ؛ تنادا ً المبرهنة الماضية يحدث المثالي M فــي ا ّ ً أولي مثاليا A . ً فــي الحلقة الرئيسية ً أوليا ليكن P ا ّ ً {0} فــي . يوجد حينئذ A مثالي A عن مختلفا ٌ عنصر ً A يحوي P. إذن مثاليا فــي M = mA . وليكن 0 =/ p و P = p A قيحُ p ق ٌ ∋ mA p يوجد َ فــي ومـــن ثـــم A . p ma = ∈ P قيحُ عنصر a ق . M P = أو ،M P ⊃ ⊃ m A لدينا أصبح ،m ∈ P فإ كان ذا ُ يحّق = pb a ويحدث لدينا، ّ وإذا كان P ∈ a وجدنا b فــي A ق َ مـــن ثـــم إذن ،ة لأا رئيسيةتام M mb = ∈ ،1 ّ A الحلقة ولكن ، p mb (1 ) 0 − = .A = M ومـــنه ّ وهكذا نكون قد أثبتنا أنه المثالي P أعظمي. عنصرا A ، وليكن ∋ pA xy ف ً ليكن p غير خزول فــي ّ . gcd( , ) p x z = نعر . ا أنه يحدث ّ يحدث z U A ∈ ( ) إم ّ َ ومـــن ثـــم p و x ّ نهمـــا وين فــيمـــا بيأولي xy p إذن .y pA ∈ أو p y ا أنه يحدث ّ p z ~ وإم ّ . pA فالمثالي .x pA ∈ أو p x| ثـــم ومـــن َ ّ أولي ّ .6-3 ة نتيجة مهم . ن لتك (⋅ + , ,A (حلقة رئيسية، و ليكن p غير خزول فــي ً عنصرا A، حينئذ ً تكون حلقة خارج القسمة / pA A حقلاً . تبديليا ة 375 ّ حقل خارج قسمة حلقة تبديلي ي أعظميمثالعلــى .7-3 مثال. لتكن A ة ّ الحلقة الرئيسي X[ ] ℝ ل فــي ّ ولنتأم X[ ] ℝ كثير الحدود غ ير الخزول 2 َ ً + = 1 ( ) X X P ّ علــى مـــا سبق، أنه الحلقة . نعلم، بناء / PA A، التــي نكود إليها فــي هذه الحالة [ ] 2 ٌ + (1 )/X X ℝ ّ تبديلي. فــي الحقيقة إن التطبيق ، هي حقل [ ] [ ] 2 ϕ → : ℂ ℝ X X a b a bX /( 1), i + + + ֏ . ّ حقلي ٌ ، وتشاكـــل ٌ تقابل كان فإذا 1 1 1 و z a b = + i 2 2 2 : أولى جهة مـــن ،كان ،ℂ مـــن z a b = + i 1 2 1 2 1 2 1 1 2 2 1 1 2 2 1 2 ( ) [ ( ) ] [( ) ( )] [ ] [ ] ( ) ( ) z z a a b b X a b X a b X a b X a b X z z ϕ + = + + + = + + + = + + + = ϕ + ϕ ،ومـــن جهة ثانية 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 2 1 1 2 2 1 2 1 1 2 2 1 1 2 2 1 2 ( ) [ ( ) ] [( )( ) (1 )] [( )( )] [( )] [( )] ( ) ( ) z z a a b b a b b a X a b X a b X b b X a b X a b X a b X a b X z z ϕ ⋅ = − + + = + + − + = + + = + ⋅ + = ϕ ⋅ ϕ مـــن z a b = + i ليكن ً عنصرا kerϕ أي z 0 = ( ) ϕ لدينا عندئذ يحدث . ّ ، وهذا يقتضي أنه [ 0] [= + bX a[ 2 كثير a bX + . يحدثو a bX + يقسم X + 1 أي ّ الحدود بالصفري 0 = = b a أو 0 = z. فالتشاكـــل ϕ . ٌ متباين ً ليكن [ ] ً 2 وأخيرا T مـــن عنصرا ُ يحّق ق ℝ[X ] فــي T يوجد عندئذ ℝ X X/( 1) + [ T = [T ا. و ّ لـم كانت درجة باقي القسمة الإقليدية ل كثير الحدود T على 2 1 + X أصغر أو 2 تساوي ،1 أمكننا تسمية هذا الباقي + bX a عندئذ و . يقسم كثير الحدود 1 + X كثير (T a bX − − ) الحدود ّ ثم ومن ، َ . فالتطبيق T = = + = ϕ + [T a bX a b ] [ ] i ( ) . ϕ ٌ غامر ة ّ ّ بذا نكون قد أثبتنا أنه ℂ حقل الأعداد العقدي ً حقل خارج القسمة ُشاكـــل تقابليا ي [ ] 2 . ℝ X X/( 1) + 376 الحقول .4 توسيع الحقل ً مـــن حقل L ّ . نقول فــي هذه الحالة إن ً حقلاً جزئيا .1-4 تعريف . ليكن K حقلاً يشاكـــل تقابليا L توسيع للحقل K . فمثلاً ℝ توسيع للحقل ℚ و ℂ توسيع للحقل ℝ . ً ℚ إذا كان المجموعة و ،  0 كان ، K توسيع للحقل ا .2-4 مبرهنة. إذا كان K ز حقلاً مجموعةه الممي ز ل ّ لحقل الممي K ّ .Fp = ℤ ℤ /p ً هـــو المجموعة الأولي p كان K توسيع للحقل ا الإثبات  ز ل ّ ، فهذا يعني أنه إذا كان المجموعة الممي لحقل K هـــو 0 التشاكـــل الحلقي ϕ → ⋅ : , 1 ℤ ֏ K n n K ً ℤ، إذن يحوي الحقل K حقل َ متباين، ومـــن ثـــم ّ فإن ϕ Im حلقة جزئية مـــن K تشاكـــل تقابليا ً للحلقةوافق الكسور الم ϕ Im وهـــو يشاكـــل تقابليا ℚ. فالحقل K توسيع للحقل ℚ . ز ل لحقل K هـــو المجموعة الأولي p كانت ، pℤ نواة التشاكـــل و إذا كان المجموعة الممي كانو ϕ → ⋅ : , 1 ℤ ֏ K n n K ϕ → ɶ : , [ ] 1 F K p n n ֏ ⋅ K ،ً بذا يحدث ً متباينا ً تشاكـــلاً ϕ Im مـــن حلقيا ً Fp . جزئيا حقلاً K وهـــو يشاكـــل تقابليا رةتذك . ة التــي يمكن ِ .3-4 ّ سنحتاج فــي التعريف اللاحق إلــى بعض الخواص البسيطة للفضاءات الشعاعي . ّ ً أنتجد هنا سنعود إليها بتفصيل كامل أثناء دراستنا للجبر الخطي للقارئ أنه يقباليةا، علمـــا ً ليكن E علــى حقل شعاعيا ً فضاء K. يحدث E مـــنتهي البعــد إذا وجدت فــيــه جملة مـــنتهية فــيدمـــن الأشعة ت بالتعبير عن أي شعاع مـــنه بعبارة خطية فــي عناصرها، وفــي مثل هذه الحالة توجد فــي 1 الفضاء E جملة ( , , ) v v … n تكون أساسا E أي يمكن كتابة كـــل عنصر x مـــن E ً للفضاء خطية عبارة وحيدة باليةة x x v x v = + + 1 1 ⋯ n n ونبرهن .K نم xn 1x و … و جدير بالذكر ُ أنه إذا و فــي فضاء شعاعي َ د ِ ج E أساس مجموعة عناصره n فمجموعة عناصر كـــل أساس ل لفضاء E هـــو أيضا n الفضاء الشعاعي ً َ عد ُ ب َ ّي هذا المجموعة ، نسم E ، ونكتب = n dimE وفــي هذه الحالة n يوجد تشاكـــل تقابلي بين الفضاءين الشعاعيين E و .K الحقول المـــنتهية 377 ً علــى ً K. يمكننا فــي هذه الحالة اعتبار L شعاعيا .4-4 تعريف. ليكن L للحقل توسيعا ً فضاء ً الحقل K . فإذا كان L مـــنتهي البعــد وبعــده شعاعيا ً ّ ، قلنا إن L فضاء n علــى K توسيع ةبسيط مـــن الدرج n للحقل K، وكتبنا n = K L ] :[ . ّ ، إذ نعلم أنه فمثلاً ℂ توسيع بسيط مـــن الدرجة الثانية ل لحقل ℝ حقل الأعداد العقدية ّ . فــي حين أنه ℝ) i1, (أساس للفضاء الشعاعي ℂ علــى ℝ الحقل ً لحقل ً بسيطا ليس توسيعا ة الأعداد ال ّ العودةي ℚ . ً .5-4 ملاحظة. فــي سنعتمد بقية هذا محاولة البحث بعض الرموز المتعارفة والتــي سنذكرها فــيمـــا يلي تثبيتا للأفكار : ∗ إذا كان (⋅ + , ,K (حقلاً فإننا نكود بالكود . (K{0}, ⋅) ّ K ة إلــى الزمرة الضربي ً كان كثير الحدود P مـــن X[ ] K فإننا نكود إلــى المثالي الرئيسي الــذي يولده P بالكود أيا . ( ) P P X P Q Q X = ⋅ = ⋅ ∈ K[ ] { : K[ ]} أي ( ) P K[ ] X مـــن A كان ً ً كان كثير الحدود المعطى P فــي X[ ] K، وأيا َ أيا ّي العنصر ، فإننا نسم K[ ]/( ) X P مـــن ُ ممثلاً A بالقياس P ز إليه بالكودونرم الــذي يقبل A  الية، صف تكافؤ [ ] A َ ً . ونصطلح أنه نكتب c عن . K مـــن c ً عوضا c [ ] كان العنصر أيا .5 الحقول المـــنتهية سنهتم فــي هذه الفقرة بالحقول المـــنتهية، أي الحقول التــي مجموعة عناصرها مـــنته. لا نشير العودةة عند حديثنا عن حقول مـــنتهية إلــى مسألة كوا تبديلية، المبرهنة الم بسببذلك و همة المقبلة التــي نذكرها بدون إثبات، لخروج الإثبات عن إطار هذا الكتاب.  .1-5 مبرهنة ودربرن – Wedderburn . . ٍ حقل مـــنته تبديلي ّ إن كـــل ّ ة ّ ً علــى بنية الزمر الجزئية المـــنتهية مـــن الزمرة الضربي ُلقي المبرهنة المقبلة ضوءا ت فــي ّ .حقل تبديلي 378 الحقول ،ً ولتكن G زمرة جزئية مـــنتهية مـــن ( , ) ∗ .2-5 مبرهنة . ليكن K حقلاً تبديليا ⋅ K . حينئذ تكون الزمرة G ارة. ّ زمرة دو الإثبات ّ ه إذا كان لنلاحظ أولاً x و y عنصرين مـــن G وكانت n رتبة x و m رتبة y ) أي أنه ّ ة فإن xy تساوي m n. رتب gcd( , ) 1 n m = جدير بالذكر ( ) ) O y m = و O x n ( ) = p فــي الحقيقة، إذا كان p ≤ 1 و 1 ( ) ً y 〈 〉 دة المولّ x عنصر مـــن الزمرة ا p كان x y = المجموعة pm ) ّ لأنه m p pm بالعنصر y والتــي رتبتها m إذن 1 ( ) َ = = x x يقسم ، َ ومـــن ثـــم n ( ( ) O x n = ّ . ولكن n و m ان فــيمـــا بينهمـــا إذن يقسم ّ أولي n المجموعة p . ونبرهن بأسلوب َ َ ّ ممـــاثل أنه m المجموعة يقسم p نستنتج مج. و ّ ً دد ان فــيمـــا بينهمـــا، أنه ّ ، لأنه n ا و m ّ ّ أولي p مضاعف ّ . وبالعكس، مـــن الواضح أنه لمجموعة ل m n ( ) ( ) ( ) 1 nm n m m n x y x y = ⋅ = O x y nm ( ) = أنه يثبت وهذا ّ . ف ّ r O x x G = max ( ) : { ∈ } لنعر َ . سنثبت ّ أنه المجموعة ُ ّوأنه card( ) G يقسم r رتبة كـــل عنصر مـــن G تقسم r . ولكن r O x = ( )0 ُ يحّق 0x مـــن G ق فــي الحقيقة، يوجد، بمقتضى تعريف r، عنصر 0 x 〈 〉 زمرة جزئية مـــن G فمجموعة عناصرها يقسم مجموعة عناصر G. إذن r يقسم G( ) card . مـــن ناحية أخرى، ليكن y مـــن G ولنضع ، = ( ) q y O. إذا كان q لا يقسم r، يمكننا أنه نجد (بتفريق كـــل مـــن r و q إلــى عوامالية الأولية) ع ً ددا ّ ً أولي ا p ق ّ ُ ، مـــن جهة يحق r p r ،أولى α q p q ، ،ثانية جهة ومـــن gcd( , ) 1 p r ′ = و = ′ β gcd( , ) 1 p q′ = مع = ′ 0 و 0 ≤ < α β ّ . إن رتبة p a x α b yq ′ r ورتبة ، = هي ′ = هي p β ً إلــى الملاحظة واستنادا O a b p r r ( ) يحدث مـــنها بدأنها التــي β ′< = ، وهذا يناقض تعريف r . ّ نستنتج ممـــا سبق أنه {0 1 : } r K = − ⊂ ∈ x x G، و لكن كثير الحدود 1 r X − ّلأنه K ً يقبل علــى الأكثر r فــي َ جذرا K ، ومـــن ثـــم ّ حقل تبديلي ≥ r G( ) card . ينجم عن card( ) G r = أنه ذلك ّ ّوأنه G الزمرة ارة، لأنه العنصر ّ دها. يولّ 0x زمرة دو الحقول المـــنتهية 379 ً ∗ .3-5 نتيجة . إذا كان K الزمرة كانتحقلاً مـــنتهيا ّ K ارة. زمرة دو ة ّ تعطينا المبرهنة المقبلة معلومة مهم عن لا توجد حقول مـــنتهية مجموعة عناصر حقل مـــنته، فمثلاً مجموعة عناصرها 12 أو 15 . .4-5 مبرهنة. إذا كان K ّ ز مجموعة أولي ّ ً ّ فإن مجموعةه الممي ∗ حقلاً p ، ويوجد n فــي مـــنتهيا ُيحّق ℕ ق card( ) n . K = p الإثبات لو كان ز ل ّ ً لحقلالمجموعة الممي K لكان ً ℚ وهذا يناقض كونه صفرا K ل لحقلتوسيعا .ً ليكن إذن مـــنتهيا p ز ل ّ الممي ّ . إن p لحقل المجموعة K َ ّ مجموعة أولي لأنه K حقل كمـــا نعلم. ولقد رأينا أنه K فــي المبرهنة .2-4 ّ Fp توسيع للحقل ، وهذا التوسيع بسيط لأنه مجموعة عناصر K مـــنته. ليكن dim [ : ] إذن K الشعاعي الفضاء فــيحدث .n = = Fp K K Fp ً Fp لاً تقابليا علــى ُشاكِ م ّ Fp n للفضاء الشعاعي علــى الحقل نفسه، ومـــنه card card ( ) ( ) n n K F = = p p ً 2F وذلك بإجراء توسيع ً مجموعة عناصره 4 مـــن الح ل قانطلاقا .5-5 مثال. سننشئ حقلاً مـــنتهيا بسيط اليةذا الأخير. نلاحظ أنه ّ ( ) 2 ∀ ∈ + = x x x F , 1 0 َ ومـــن ثـــم ّ فإن كثير الحدود 2 2F والمثالي 1 + + = X X P زول فــي غير خ X[ ] ( ) [ ] : [ ] P P X P Q Q X = ⋅ = ⋅ ∈ F2 { F2 } فــي ّ أعظمي ّ 2 مثالي X [ ] F بمقتضى المبرهنة ،.5-3 َ ومـــن ثـــم تكون حلقة خارج القسمة 2 ً إلــى المبرهنة .2-3 استنادا وذلك ًحقلا K F = [ ]/( ) X P ِ لنأت K إلــى وصف الحقل . نكود بالكود j إلــى العنصر X [ ] مـــن K أي إلــى صف تكافؤ العنصر X بالقياس لعلاقة التكاف ّ فة بالمثالي ّ ؤ المعر P( ) ، أو ببساطة بالقياس P، ليكن A كثير 2F، لا تزيد درجة باقي القسمة الإقليدية ل كثير الحدود A علــى P علــى 1 ٍ مـــا مـــن حدود X[ ] ً ً وحيدا ُ يحّق 2 2 2 لذلك نجد عنصرا b a Q ) , , ( مـــن ،ق F F F [ ] X × × A Q P a X b = ⋅ + + 380 الحقول َ ومـــن ثـــم يكتب صف تكافؤ A بالقياس P باليةة وحيدة بالشكـــل [ ] [ ][ ] [ ] A a X b a j b = + = + مـــن ) , ( a b جدير بالذكر .F2 ً c [ ] عندمـــا يحدث c مـــن × 2 2 F F. واتفقنا أنه نكتب c عن عوضا ّ نستنتج إذن أنه K = + {0,1, ,1 j j } ّ ، ونالتحــقق بسهـــولة أنه K فمجموعة عناصر الحقل K هـــو 4 قوانين الجمع والضرب فــي معطاة بالجدولين :الآتيين 0 1 1 0 1 1 0 0 1 1 0 0 0 0 0 1 1 0 1 1 0 1 1 1 0 1 0 1 1 1 1 1 0 1 0 1 1 j j j j j j j j j j j j j j j j j j j j j j + + × + + + + + + + + + + فمثلاً 2 ( 1)( 1) [1 ][1 ] [1 2 ] [ ] [ ] j j X X X X X P X j + + = + + = + + = + = = و نترك للقارئ مهمة إنشــاء حقل مجموعة عناصره 8 عمـــالوذلك باست كثير الحدود غير الخزول 3 2 . F2 [ ] X مـــن P X X = + + 1 ً للمثال السابق. نجد فــي المبرهنة المقبلة تعميمـــا ،ً وليكن كثير الحدود غير الخزول A مـــن الدرجة d فــي ً أوليا .6-5 مبرهنة . ليكن p مجموعةا p = F K حقل مـــنته مجموعة عن اصره [ ] [ ]/( ) X A الحقل إن . ّ Fp X d . p الإثبات إلــى صف X لنكود بالكود α تكافؤ ّ . سنثبت ّ أنه بالقياس A أي α = X [ ] التطبيق ُ هـــو القادم ٌ تقابل 1 0 1 1 0 : , ( , , , ) d k p p d k k d x x x x α − − = Φ × × → F F K ⋯ … ֏ ∑ الحقول المـــنتهية 381 ّن . ولنعرف كثير الحدود ( , , ) ( , , ) 1 0 1 0 التباين. لنفترض أ ّ Φ x x y y … d− = Φ … d− 1 0 ( ) [ ] d k k k p k G x y X X − = = − ∈ ∑ F إن ّ ّ وهذا يعني أنه ( ) ∋ A G أو Φ( , , ) ( , , ) x x y y 0 1 0 1 … d− = Φ … d− لأنهّ [ ] 0 G = K أنه A ّ ّ أنه 0 = G يقسم G وهذا يقتضي ولكن . deg deg G A < لأنه ّ 0 1 0 1 ( , , ) ( , , ) 0 x x y y G … d− = … d− ⇔ = ّ نستنتج أنه Φ متباين. الغمر. ن ليك P [ ] مـــن K ّ . إن درجة باقي القسمة الإقليدية ل كثير الحدود P علــى A ً مـــن [ ] فــي Q يوجد ثـــم ومـــن ، َ d A = deg تمـــامـــا أصغر فــي ) , , ( x x 0 1 … d− ، ويوجد Fp X ( )d Fp ُ يح قان ق 1 0 d k k k P A Q x X − = = ⋅ + ∑ ّ وجدنا أنه فإذا أخذنا صف تكافؤ P بالقياس A 1 0 [ ] Im d k k k P x α − = ∑ Φ = ∈ ، ونستنتج مـــن َثـــم ّ أنه Φ غامر. ( ) ( ) card card ّ ينجم عن ذلك أنه d d . K F = = p p تؤدي ً كثيرات الحدود غير الخزولة ّ ّ نلاحظ مـــن هذه المبرهنة أنه ً فــي دراسة الحقول مدورا ا ّ هم .ً المـــنتهية، وسيزداد وضوح هذا الأمر لاحقا ز p . حينئذ يحدث ً مجموعةه الممي .7-5 مبرهنة . ليكن K حقلاً مـــنتهيا [ ], , , ( ) ( ) ( ) n n p p R X n x R x R x p ∀ ∈ ∀ ∈ ∀ ∈ F ℕ K = الإثبات ً ّ فإن لنلاحظ أولاً p أنه إذا كان ً أوليا مجموعةا p يقسم k Cp ً كان −1ℕp وذلك أيا k مـــن . لأنه ( 1) ( 1) ! k p p p p k C k − − + = ⋯ و p يقسم بسط الكسر السابق ولا يقسم مقامه. إذن 1 , 0 mod k ∀ ∈ = k C p ℕp p − 382 الحقول ً ّ إلــى دستور ثنائي الحد أنه ينجم عن ذلك واستنادا 1 1 ( , ) , ( ) p p p p k k p k p p p k x y x y x y C x y x y − − = ∀ ∈ + = + + K ∑ = + ّ ، أنه نستنتج مـــن ذلك، بالتدريج علــى n 2 , ( , ) , ( ) n n n p p p ∀ ∈ ∀ ∈ + = + n x y x y x y ℕ K ل َ ومـــن ثـــم نستنتج، أيضا ℓ ّ ، أنه ً بالتدريج ولكن علــى المتحو 1 1 1 , ( , , ) , ( ) n n n p p p ∀ ∈ ∀ ∈ + + = + + n x x K x x x x ℓ ℕ … ℓ ⋯ ℓ ⋯ ℓ ّ مـــن ناحية أخرى، إن p مجموعة عناصر ∗ F هـــو 1 − p ومـــنه 1 , 1 p a a p F ∀ ∈ = . نستنتج إذن − ∗ ّه مهمـــا تكن Fp أنه a مـــن يكن p نجد، بالتدريج علــى n : ّ = a a َ . ومـــن ثـــم , n p ∀ ∈ = a a a Fp فإذا كان 1 d k k k R a X = ً x مـــن K و n مـــن Fp كان ،أمكننا أنه نكتب أيا [ ] X ً ∑ = مـــن عنصرا ℕ مـــا يلي،: ( ) 0 0 0 ( ) ( ) ( ) ( ) n n n n n n p d d d p k p k p p k p k k k k k k R x a x a x a x R x = = =     = = = =          ∑ ∑ ∑ إثباته.وهـــو المطلوب .ً وليكن كثير الحدود غير الخزول Q مـــن الدرجة d فــي ً أوليا .8-5 مبرهنة. ليكن p مجموعةا X Fp. عندئذ يحدث لدينا التكافؤ القادم: ( ) | | [ ] n p ً أيا وذلك d n Q X X ⇔ − كان n مـــن ∗ . ℕ الإثبات ا ّ يساوي K F = p كان لـم Q ّ غير خزول فإن مجموعة عناصر الحقل Q X( ) /[ ] d p ورتبة ∗ الزمرة K هي 1 d − p يحدث لدينا إذن، 1 , 1 d p x x ∗ − أنه ّ K ∀ ∈ = مـــن ذلك نستنتجو ، , d p ّ أنه K x x x ∀ ∈ = ، وينجم عن ذلك بالتدريج علــى k , , dk p ( )∗ ∀ ∈ ∀ ∈ = k x x x ℕ K لنثبت حيث اليوم التكافؤ المطلوب. الحقول المـــنتهية 383 ا (⇒) ّ ُيحّق = k d n علــى كان لـم d يقسم n، يوجد k ق ً وبناء ∗( ) يحدث , n p ∀ ∈ = x x x K فنا كثير الحدود ّ وإذا عر n p Fp كان صف تكافؤ G بالقياس [ ] X مـــن G X X = − ً إلــى مـــا سبق 0 [ ] ([ ]) [ ] ً K ويحقق استنادا Q مـــن عنصرا n p وبذا . G X X = − = . G يقسم Q أو G Q ∈ ( ) يحدث (⇐) الكودلنكود ب α إلــى العنصر X [ ] مـــن K، إذن = α 0( ) Q ، ولأنه Q كثير الحدود يقسم n p ّ فإن X X − n p ُ يحّق Fp ق [ ] X فــي R يوجد ،K مـــن y ليكن .α α = ) y R = [ ] y إن أي ّ هـــو صف تكافؤ R بالقياس Q (، ومـــنه = α ( ) y R. وينتج ّ أنه بمقتضى المبرهنة .7-5 ( ( )) ( ) ( ) n n n p p p y R R R y = = = = α α α ّ نكون قد أثبتنا أنه 1 , 1 n p y y ∗ − ولكن . = ∋ ∀ K ∗ ّ K ارة رتبتها زمرة دو 1 d p − 0y فــيوجد عنصر فــي ∗ K رتبته 1 d ُ − p َ ، ومـــن ثـــم تقتضي العلاقة 1 0 1 n p y − أنه ّ = 1 d − p يقسم 1 n ُ يحّق − p . بإجراء قسمة إقليدية ل لمجموعة n علــى d نجد r q ) , ( ق ولكن . d r > ≥ 0 و n q d r = + 1 0 1 ( 1) 1 ( 1) 1 n r qd r q r d dk r k p p p p p p p p − = − = − + −     = ⋅ − ⋅ + −        ∑ ومـــنه 1 d − p يقسم 1 r − p ، و1 1 d r 0 1 إذن p p − > − r p − = َ ومـــن ثـــم 0 = r و = qd n. وهذا مـــا يثبت المطلوب. ً n مـــن ً أوليا ∗ .9-5 مبرهنة ن . ليك p ولتكن ،مجموعةا ℕ نكود بالكود . n Kp إلــى تكلة كثيرات ة وبغير الخزولة مـــن الدرجة ّ X Fp . فــيحدث الحدود الواحدي n فــي [ ] ( ) | n d p p d n Q K X X Q ∈ − = ∏ ∏ ّ أي إن n p − X X هـــو جداء ضرب كل كثيرات الحدود الواحدية وبغير الخزولة مـــن درجة تقسم n . 384 الحقول الإثبات n نلاحظ أولاً ّ أنه كثير الحدود p ع كثير ّ ً علــى شكـــل مرب Fp لا يقبل قاسمـــا [ ] X مـــن X X − ّه إذا كان 2 حدود درجته أكبر أو تساوي ،1 وذلك لأنه n P ّ بالاشتقاق أنه وجدنا X X Q R − = ( ) 1 2 1 1 n n p Q R QR Q p X − ′ ′ + = − = − ا سبق أنه فكثير الحدود Q يقسم −1 وهذا يناقض كون درجته تزيد علــى 1 تفريق ّ ّ . ينتج مم n p − X X إلــى جداء كثير ات حدود واحدية غير خزولة يكتب كمـــا يلي 1 n k p i i X X Q = − = ∏ k Q Q كثيرات حدود واحدية غير خزولة ومختلفة مثنى مثنى. وينتمي ك ل و 1 … , ,  ) Qi عملاً بالمبرهنة Kp d .9-5 (إلــى إحدى اموعات و d لمجموعة قاسم ل n إذن. 1 n k p i i X X Q = ∏ = − يقسم | ( ) d p d n Q K Q ∈ ∏ ∏ كـــل وبالعكس، أيا d لمجموعةل n ً كان القاسم ُ مـــن Q يقسم ، d Kp الحدود َ n كثير p X X − ولكن عناصر | d p d n ∪K ُ ة فــيمـــا بينها مثنى مثنى، إذن يقسم الجداء ّ أولي | ( ) d p d n Q K Q ∈ َ ∏ ∏ كثير n الحدود p ّ نستنتج أنه و . X X − | ( ) n d p p d n Q K X X Q ∈ − = ∏ ∏ ّلأنه الطرفــين واحديان. ً n مـــن ً أوليا ∗ .10-5 نتيجة . ليكن p ولتكن مجموعةا ℕ .  نذك ّ ر بأنه n Kp هي مج موعة كثيرات ة وبغير الخزولة مـــن الدرجة ّ X Fp نكود إلــى ، ( )card الحدود الواحدي n فــي [ ] n Kp بالكود n فــيحدث . I p | n d p d n . p dI = ∑ الإثبات تكفــي مقارنة الحدين ال ـ سيطر ُ م ين فــي طرفــي العلاقة | ( ) n d p p d n Q K X X Q ∈ . − = ∏ ∏ الحقول المـــنتهية 385 ّن 2 = p ، ولنكتب العلاقات الماضية حين يحدث n = 4,3,2,1 . .11-5 مثال . لنفترض أ فنجد 1 1 2 2 2 1 2 2 3 3 1 2 2 4 4 2 1 2 2 2 2 2 2 2 3 2 4 2 I I I I I I I I = = + = + = + + َ ومـــن ثـــم ّ فإن 1 2 = 2I و 2 1 = 2I و 3 2 = 2I و 4 I2 = 3 ّ ق أنه  ونترك القارئ يتحق { } { } { } { } 1 2 2 2 2 3 3 3 2 2 4 4 4 3 4 3 2 2 , 1 , 1 , 1, 1 , 1, 1, 1 . K X X K X X K X X X X K X X X X X X X X = + = + + = + + + + = + + + + + + + + .ً عندئذ مهمـــا تكن n مـــن ً أوليا ∗ .12-5 مبرهنة . ليكن p مجموعةا Fp ُ ℕ، يوجد فــي X[ ] كثير ٍ غير خزول مـــن الدرجة حدود n. الإثبات ت النتيجة فــيد مـــننس .10-5 والرموز الواردة فــيــها. ينتج مـــن العلاقة | n d p d n أنه ّ p dI = ∑ n n ثـــم ومـــن . َ n ً أيا وذلك كان n I p p ≤ | , 1 1 1 ( 2) 1 0 1 1 n n d p p d n d n n n n n d n d nI p dI p p p p p p p p ≠ − = = − − − + ≥ − = − = > − − ∑ ∑ ّ نستنتج أنه 0 n ّ I < ومـــن َ ه ،ثـــم p لأنه ٌ مجموعة ٌ يحدث سليم 1 n p I ≤ أي n . Kp ≠ ∅ 386 الحقول n .13-5 نتيجة . يوجد حقل مـــنته مجموعة عناصره ℓ إذا وفقط إذا كان و p و ℓ = p ّ مجموعة أولي n مـــن ∗ .ℕ الإثبات ً ا لقد أثبتن لزوم الشرط فــي المبرهنة .4-5 وبالعكس، إذا كان p وكان ا ّ ً ً أولي مجموعةا n مـــن مجموعةا ∗ ٍ كثير حدود ٍ غير خزول P مـــن الدرجة n، وهـــو موجود بمقتضى المبرهنة Fp ℕ فــي ، نختار X[ ] p = F K مجموعة عناصره حقلاً [X P ]/( ) فــيحدث .12-5 n . p .14-5 مبرهنة ن . ليك p ع ّ ً أو ،ً وددا ليا A َ كثير ّ ٍ واحدي ً حدود X Fp ن الدرجةم غير خزول فــي ا [ ] ً مجموعة عناصره n. إذا كان K حقلاً مـــنتهيا n p حقل ّ فــيوجد تشاكـــل تقابلي ّ بين ي K .K F = p [X A ]/( )و الإثبات  ز ل لنلاحظ أنه لحقل K المجموعة الممي ّ هـــو p ز ل ّ . لأنه المجموعة الممي لحقل K يقسم ّ ٌ أولي مجموعة n مجموعة عناصر الزمرة (,+K (الــذي يساوي p . فالحقل K هـــو إذن توسيع للحقل Fp ويمكننا ً مـــن اعتبار هذا الأخير حقلاً K ا. و جزئيا ّ كانت رتبة الزمرة لـم ( , ) ∗ ⋅ K هي 1 n − p كان 1 , 1 n p x x ∗ − ∀ ∈ K = ّ ومـــنه نستنتج أنه , n p K x x x ∀ ∈ = ّ . ينجم عن ذلك أنه عناصر K هي جذور لكثير الحدود n p − X X ودرجة هذا الأخير تساوي (K(card . إذن جذور n p ً − X X هي تمـــامـــا عناصر K. أي ( ) n p X X X α α ∈ − = − ∏ K ، ولكن A يقسم n p − X X إذن يوجد ُويحّق = α 0( ) A . α ينتمي إلــى K ق { [ ] : ( ) 0} لنضع مـــن I إن ، ّ I = ∈ Q X Q Fp α = ّ X Fp مختلف عن مثالي [ ] ّه يحتوي علــى المثالي الأعظمي A ) ( ) لأنه A غير خزول ) إذن [ ] X Fp ) ّلأنه I ∉ 1 (ُثـــم إن . ومـــنه I = ( ) A [ ], ( ) 0 ( ) ( )∗ ∀ ∈ Q X Q Q A Fp α = ⇒ ∈ ّف إذن التطبيق : /( ) , [ ] ( ) [ ] : القادم لنعر Φ Fp X A Q Q → K ֏ α الحقول المـــنتهية 387 ّ هإن يقسم ′ −Q Q ّ كثير الحدود أنه A  لأنه إذا كان ، ذا التعريف متميز ′ = Q Q [ ] [ ] عنى هذا ، ّ . ونالتحــقق بسهـــولة أنه كان و َ مـــن ثـــم ′ = α α ( ) ( ) Q Q Φ + = Φ + Φ ([ ] [ ]) ([ ]) ([ ]) Q P Q P Φ ⋅ = Φ ⋅ Φ ([ ] [ ]) ([ ]) ([ ]) Q P Q P ً كان [ ]/( ) مـــن [ ] P و [ ] Q أيا . Φ فالتطبيق ،Fp X A ّ تشاكـــل حقلي ّ إن Φ التطبيق ةعملاً متباين لأنه إذا كان = α 0( ) Qكان = Q 0 [ ] ب ّ المعلن ∗( ) ومـــنه card /( ) card ( [ ] ) ( ) . أخرى ناحية مـــن ker {0} Φ = n ثـــم ومـــن َ . Fp X A = = K p أنه يحدث ّ لا بد Φ تقابلاً وهذا يثبت المطلوب. ً n مـــن ً أوليا ∗ .15-5 جة وتعريفنتي . ليكن p ولتكن مجموعةا ٌ يوجد حقل مـــنته وحيد مجموعة .ℕ n عناصره Fp أو ( ) p نكود إليه العودةة بالكود n n .GF p ′K حقلين مـــنتهيين مجموعة عناصر كـــل مـــنهمـــا n نقصد بالوحدانية أنه إذا كان K و p فــيوجد بينهمـــا. ّ تشاكـــل تقابلي حقلي ّمـــنا إلــى القارئ نظرية الحقول والح نأمل فــي اية هذا الفصل أنه نكون قد قد التــي ،قول المـــنتهية ً لتطبيقاا الواسعة فــي مجالات حظيت باهتمـــام كبير مـــن قبل الباحثين التطبيقيين مـــنذ الية ،خمسين عامـــا عديدة كنظرية ترميز كل المعلومـــات وفــي الدارات المـــنطقية. g 388 الحقول اتـمرينت Jالتمرين .1 حلّل إلــى عناصر بسيطة فــي X( ) ℂ ّكـــلاً مـــن الكسور الالعودةية المقبلة فــي حالة n و m .ً ان موجبان تمـــامـــا ّ مجموعةان طبيعي 2 2 2 3 2 2 7 7 1 1 1 , , , ( 1) ( 2) ( 3) ( ) ( ) 1 1 , , . ( 1) ( 1)( 2) ( ) ( 1) 1 n m n n X X X X a X b X X X X X n X X − − − − − + − − − ⋯ + − − الحـل حالة الكسر 2 2 1 ( ) ( 1) F X X = − ا. ّ كان لـم 2 1 1 1 1 X 1 2 1 1 X X   = −      − +  −   ّ استنتجنا أنه 2 2 2 2 2 1 1 1 1 4 4 4 4 2 2 1 1 1 2 1 ( 1) ( 1) 1 ( 1) 4 ( 1) 1 ( 1) 1 X X X X X X X X     = − +     −  − − +    = − + + − − + + حالة الكسر 2 3 1 ( ) ( 2) ( 3) F X X X = − − ُكتب . فــي الحقيقة، ي F بالشكـــل 3F إلــى الجزء القطبي 2F القطبي الموافق لل ءإلــى الجز قطب 2 وبالكود + 3 2 F F وقد كودنا بالكود قطبالموافق لل 3 . 3F لالأكاونت ل ّ ُنجري تغيير المتحو 3 − = X Y فــيحدث لدينا 3 2 1 ( ) (1 ) F X Y Y = + ّ يمكننا أنه ولكن، بالاستفادة مـــن العلاقة Y Y − + = 1 1 نكتب 3 2 3 2 2 1 1 ( ) (1 ) (1 ) (1 ) 1 F X Y Y Y Y Y Y Y Y = = − + + + + − ونتابع بالأسلوب ذاته. تمرينات 389 3 2 2 3 2 2 3 2 2 3 2 2 3 2 2 3 2 2 ( ) (1 ) (1 ) 1 2 1 (1 ) (1 ) 1 2( ) (1 ) (1 ) 1 2 3 1 (1 ) (1 ) 1 2 3( ) 1 (1 ) (1 ) 1 2 3 3 1 1 (1 1 1 1 1 ) 1 F X Y Y Y Y Y Y Y Y Y Y Y Y Y Y Y Y Y Y Y Y Y Y Y Y Y Y Y Y Y Y Y Y Y Y Y Y Y Y Y = − + + = − + + + = − + + + = − + − + + = − + − + + = − + − + − + − + − − − + + + − + ومـــنه 3 2 2 1 2 3 3 1 ( ) ( 3) ( 3) 3 2 ( 2) F X X X X X X = − + − − − − − − − , حالة الكسر 1 ( ) ( ) ( ) n m n m F X X a X b = − − ّ هذا تعميم للحالة الماضية، نفترض أنه . ّ =/ b a ّ وإلا ل Y a X كانت المسألة تافهة. نجري تغيير المتحو b a − = − فــيحدث لدينا , , 1 1 ( 1) ( ) ( ) ( ) ( 1) ( ) m F X n m n m n m n m G Y n m b a Y Y b a + + − = ⋅ = ⋅ − − − فنا ّ وقد عر , 1 ( ) (1 ) n m n m G Y Y Y = − ّ . وتجد هنا نلاحظ أنه 2 1 0 1 1 1 n m n m k k Y Y Y Y + − + − = − = − − ∑ وباشتقاق طرفــي هذه العلاقة 1 − m القسمة علــى ّ ُ ة ثـــم ّ مر − m)! 1 ( نجد 390 الحقول 2 1 ( 1 ) 1 1 1 ( ) 1 1 0 1 ( 1 ) 1 1 0 1 1 1 ( ) (1 ) ( 1)! 1 1 ( 1 )! 1 n m m m k m k m k n m k m k m k m k m k m k n n m m k k C Y C Y Y m Y C Y Y m k Y + − − − − − − + + − − = − = − − − + − − − =   − =     − − −    =     − −  −    ∑ ∑ ∑ وقد استفدنا مـــن علاقة فــي مشتق الجداء لايبنتز . ومـــنه 1 ( ) 1 1 1 1 0 1 1 (1 ) ! 1 n m n p p m n k n n m p m n m k k p C C Y Y Y Y p Y − + − − + − + − − = =   − = ⋅      −  − ∑ ∑   ّ ّ فإن الكسر َ ومـــن ثـــم 1 1 , , 1 ( ) ( ) n m n m k n m n m k k C H Y G Y Y − + − − = = − ∑ ُكتب بالصيغة ال كافئةـي ُ م 1 ( ) 1 , 0 1 ( ) ! 1 m n p p n m p n m p C H Y Y p Y − + + − =   =      −  ∑   .ً والجزء القطبي الموافق للقطب وهـــو إذن لا يقبل بالصفر قطبا 0 فــي , ( ) G Y n m هـــو 1 1 1 n m n m k k k C Y − + − − = القطبي الجزء أنه نستنتج ّ G Y G Y n m, ( ) (1 ) = − m n, ّ وبملاحظة أنه . ∑ الموافق للقطب 1 فــي , ( ) G Y n m هـــو 1 1 1 (1 ) m n n m k k k C Y − + − − = − ّ وهكذا نستنتج أنه . ∑ 1 1 1 1 , 1 1 1 ( ) (1 ) (1 ) n m m n n m k n m k n m n m k k k k C C G Y Y Y Y Y − − + − − + − − = = = = + − − ∑ ∑ ,m Fn وبعودة مرة أخرى إلــى ّ أنه دنج ( ) ( ) , , 1 1 1 ( , ) ( , ) ( ) ( ) ( ) ( ) n k m k n m m n n m k k k k A a b A b a X a X b X a X b = = = + − − − − ∑ ∑ فنا ّ 1 ( ) وقد عر , 1 ( , ) ( 1) ( ) k m m k n m A a b C b a n m n m k ّ − − − + − = . أجمل هذه الصيغ هي − − − ولعل المقبلة : 1 1 1 1 1 1 ( ) ( ) ( ) n k m k n m m n n m k n m k n m k k b a b a a b C C X a b X X a X b + − − + − − + − − = = − =    −  +    −       −   −  − − ∑   ∑   تمرينات 391 حالة الكسر 2 2 ( ) ( 1) n n n X F X X = + ّ نلاحظ تجد هنا أنه . 2 2 2 2 1 1 1 ( ) 1 1 ( 1) ( 1) 1 ( 1) n n n m m n n n m m X F X C X X = X   = = − = + −       +   + + ∑ ً إلــى ولكن استنادا يمكننا أنه نكتب ( ) ( ) , , 2 1 1 1 1 (i, i) ( i,i) ( 1) ( i) ( i) ( i) ( i) m k m k m m m m m m m k k k k A A X X X = X = X − − = = + + − + − + ∑ ∑ جدير بالذكر ( ) 2 1 , 2 1 (i, i) 2 ( i) k k m k m Am m C m k − − − = − − − و ( ) 2 1 , 2 1 ( i,i) 2 i k k m k m Am m C m k − − − = − − ومـــنه 2 1 2 1 2 1 1 ( 1) 1 2 i ( 1) ( i) ( i) m k k m k m m m k k k k C X X X − − − − =  −    =  +    +  − +    ∑ Fn وبعودة مرة أخرى إلــى نجد 2 1 2 1 1 1 ( 1) 1 ( ) 1 ( 1) 2 i ( i) ( i) n m k m m k m k m n n m k k k m k F X C C X X − − − − = =     −  = + −   +         − +    ∑ ∑ أو 2 1 2 1 1 2 1 2 1 1 ( ) ( ) ( 1) 1 ( ) 1 ( 1) 2 i ( i) ( i) ( 1) 1 1 ( 1) 2 i ( i) ( i) 1 ( i) ( i) k m k m k m m n n m k k k k m n n n k m k m k m m n m k k k k m k n n k k k k F X C C X X C C X X X X λ λ − − − − ≤ ≤ ≤ − − − − = =   −     = + −  +       − +       −     = + −   +            − +    = +   +   − + ∑ ∑ ∑ 1 n k=        ∑ يثح ( ) 2 1 2 1 (2i) ( 1) 2 n n k m m m m k n m k m k λ C C − − − − = = − ∑ فــي حالة n k ≤ ≤1 . 392 الحقول حالة الكسر 1 ( ) ( 1)( 2) ( ) F Xn X X X n = − − − ⋯ الأقطاب بسيطة، . نلاحظ أنه ّ ّ َ ومـــن ثـــم 1 ( ) n k n k a F X X k = = ∑ − جدير بالذكر 1 ( 1) ( 1)( 2) 1( 1)( 2) ( ) !( )! n k k k a k k k n k n k − − = = − − − − − − ⋯ ⋯ إذن 1 1 ( 1) ( ) ! n k k n n k k C F X n X k = − = ∑ − حالة الكسر 7 7 1 ( ) ( 1) 1 F X X X = + − − لاً . عن أقطاب هذا الكسر. أي ّ نبحث أو 7 7 عن جذور كثير الحدود أنه ّ ًلا Q X X ( ) ( 1) 1 = + − − X ّ . نلاحظ أو ( ) ( ) ( ( ) ) ( ) 6 6 6 6 6 6 6 6 6 gcd , gcd ,( 1) gcd ( 1) ( 1) ,( 1) gcd 1,( 1) Q Q Q X X Q X X X X X X X X ′ = + − = − + + − + − = − + − ولكن 6 2 2 2 6 6 2 2 1 ( 1)( 1)( 1) ( 1) (2 1)( 1)(3 3 1) X X X X X X X X X X X X X − = − + + − + + − = + + + + + إذن ( ) 2 gcd ( ), ( ) Q X Q X X X ′ = + + 1 i2 كـــل ( ) مـــن و 3 j exp = π و 2 ُ ٌ ضاعف j لكثير الحدود م ٌ ً مجموعةين جذر ( )X Q ال وهـــو يقبل وضوحا ً ّ . ولأنه أمثال 0 و −1 جذورا 6 ّ استنتجنا أنه 7 هي Q X( ) فــي X 2 2 2 Q X X X X X ( ) 7 ( 1)( j) ( j ) = + − − تمرينات 393 ومـــنه 2 2 2 2 ( ) 1 j ( j) j ( j ) a b F X X X X X X X α β γ δ = + + + + + + − − − − ّلأنه ( )X F ينتمي إلــى X( ) ℝ إذن F X F X ( ) ( ) = ولكن 2 2 2 2 ( ) 1 j ( j) j ( j ) a b F X X X X X X X α β α β = + + + + + + − − − − 1 1 القطبان 0 و −1 بسيطان إذن (0) 7 a Q = = ′ و 1 1 ( 1) 7 b Q = = − ′ − ، ّ ُ ثـــم ّ إن ( ) 2 j 2 2 1 1 ( j) ( ) X 7 j 1 j (j j ) 21 β X F X ← = −     = =   + − ّ فنجد أنه ً لإعادة وأخيرا α نحسب − (j( F باليةتين 2 2 2 1 1 1 1 7 1 1 7 7(j j)(4 j ) 7 j 1 j 2 j 12 j 3 α α     = − − − + + +      −  −   ومـــنه 5 2 j 21 = − α α ، وعلــىه يحدث 5 i 21 3 ً = α . وأخيرا ( ) 5 1 5 1 3 3 3 3 3 3 2 2 2 2 i i 1 1 1 7 1 j ( j) j ( j ) F X X X X X X X     = − + + − +        + − − − −    وهي النتيجة المطلوبة. ú :n ∈ ℕ ∗ Jالتمرين .2 حلّل إلــى عناصر بسيطة فــي X( ) ℝ الكسور الالعودةية المقبلة، فــي حالة 6 2 5 4 2 3 2 3 3 3 8 4 2 1 1 64 , , , ( 1) ( 1) ( 2 4) 1 1 1 , , , ( 1) 1 ( 1)n X X X X X X X X X X X − + + − − + + − + + − 2 7 4 2 3 2 2 2 4 2 2 0 5 , , , 2cos 1 ( 2) ( 1) 4 ! , . ( 1) ( 1) ( 1) ( ) n k X X X X X X X X X k X X X X X X k α α = + ∈ − + + + + − + − + + ∑ + + ℝ ⋯ 394 الحقول الحـل حالة الكسر 4 2 1 ( ) ( 1) F X X = − ّ لنبدأ بملاحظة أنه . 4 4 4 4 2 4 2 4 2 4 1 3 4 3( 1) 4 3 1 ( 1) ( 1) ( 1) 1 X X X X X X X X ′     − − − − −   = = = − −     − − − − − فنا ّ فإذا عر 4 1 ( ) 1 H X X = − كان لدينا ( ) 1 ( ) ( ) 3 ( ) 4 F X XH X H X  ′  = − +       ولكن 2 2 2 1 1 1 1/4 1/4 1/2 ( ) 2 1 1 1 1 1 H X X X X X X   = − = − −       − +   − + + و 2 2 1 1 1 1 ( ) 4( 1) 4( 1) 2( 1) 1 1 4( 1) 4( 1) 2( 1) X X X XH X X X X X X X X − + + − = − − − + + = + − − + + ّ َ ومـــن ثـــم ( ) 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 1 1 ( ) 4( 1) 4( 1) 2( 1) 1 1 2 1 4( 1) 4( 1) 2( 1) 1 1 1 1 4( 1) 4( 1) 2( 1) ( 1) X XH X X X X X X X X X X X X ′ − = − − − − + + − − = − − − − + + = − − + − − + + + وعلــىه 3 1 3 1 1 1 16 16 16 16 4 4 2 2 2 2 2 ( ) 1 1 ( 1) ( 1) 1 ( 1) F X X X X X X X = − + + + + + − + − + + + وهـــو التفريق المطلوب فــي X( ) ℝ . تمرينات 395 حالة الكسر 6 2 3 1 ( ) ( 1) X X F X X − + = − . لنضع 1 − = X T فــيحدث ( ) 6 2 6 2 3 3 6 5 4 3 2 3 3 2 2 3 3 2 2 3 1 ( 1) ( 1) 1 ( ) ( 1) 1 6 15 20 14 4 1 14 4 1 6 15 20 14 4 1 ( 1) 6( 1) 15 5 1 ( 1) ( 1) X X T T F X X T T T T T T T T T T T T T T X X X X X X − + + − + + = = − = + + + + + + = + + + + + + = − + − + + + + + − − − ً وأخيرا 3 2 2 3 14 4 1 ( ) 3 6 10 1 ( 1) ( 1) F X X X X X X X = + + + + + + − − − حالة الكسر 5 2 3 64 ( ) ( 2 4) X F X X X + = + + لنضع . 2 Q X X X ( ) 2 4 = + + فــيحدث ة لكثير الحدود ّ 5 لدينا بإجراء قسمة إقليدي نجد Q X( ) علــى X + 64 5 3 2 X Q X X X X + = − + − + 64 ( )( 2 8) 16 32 وكذلك 3 2 X X Q X X X − + = − + + 2 8 ( )( 4) 4 24 ّ َ ومـــن ثـــم 5 2 X Q X X Q X X X + = − + + − + 64 ( )( 4) ( )(4 24) 16 32 إذن 2 2 2 2 3 4 4 24 16 32 ( ) 2 4 ( 2 4) ( 2 4) X X X F X X X X X X X − + − + = + + + + + + + + حالة الكسر 3 3 1 ( ) ( 1) F X X = − 2 . لنضع ّ ولنلاحظ أنه T X X = + + 1 ( 1)( 2) 3 X X T − + = − 396 الحقول وهذا يفــيدنا فــي كتابة ( )X F الآتي بالشكـــل 3 3 3 ( 2) ( ) ( 3) X F X T T + = − ة لكثير الحدود ّ 3 وبإجراء قسمة إقليدي + X) 2 ( علــى 2 نجد X X + + 1 3 2 ( 2) ( 1)( 5) 6 3 X X X X X + = + + + + + ّ َ ومـــن ثـــم 3 3 6 3 ( 5) ( ) (3 ) X X T F X T T + + + = − − بإجراء قسمة وفق القوى التي تزداد فــي T X( )[ ] ℝ لكثير الحدود + + + T X X) 5 ( 3 6 علــى 3 كثير الحدود ّ نجد أنه (3 ) −T 3 3 6 3 ( 5) ( )(3 ) ( ) X X T Q T T T R T + + + = − + X X جدير بالذكر 2 2 1 2 8 7 7 5 ( ) 9 27 27 40 26 55 38 7 5 ( ) 9 27 27 X X X X X Q T T T X X X R T T T + + + = + + + + + = − + فــيحدث لدينا 3 2 3 1 2 8 7 7 5 ( ) ( ) 9 27 27 ( 3) X X X R T X F X T T T T + + + = − − − + − ّ فإذا تذك ّ رنا أنه 3 + X) 2 ( يقسم 3 استنتجنا أنه ّ ً للكسر F ّوأنه −2 ليس قطبا ( 3) T − 3 المقدار + X) 2 ( ضروري أنه يقسم كثير الحدود 2 + + X X X R ّ وهذا مـــا نالتحــقق مـــنه (1 ) ة لكثير الحدود ّ 2 باليةة مباشر بإجراء قسمة إقليدي ( 1) علــى R X X X + + 3 ّ إذ نجد أنه ( 2) X + ( ) 2 1 3 2 ( 1) ( 2) 5 13 9 27 R X X X + + = + − + X X X ومـــنه 2 3 2 3 1 2 8 7 7 5 5 13 9 ( ) 9 27 27 27( 1) X X X X X F X T T T X + + + − + = − − − + − تمرينات 397 2 2 ولكن إذن 5 13 9 5 )1 (3 )1 (1 X X X X − + = − − − + 2 3 2 3 1 5 3 1 7 5 8 7 3 6 ( ) 27 1 ( 1) ( 1) X X X F X X T X X T T  + + +    = − + − − −      −   − −  جدير بالذكر 2 . T X X = + + 1 حالة الكسر 8 4 1 ( ) 1 F X X X = + + . لنلاحظ أنه ℂ أقطاب هذا الكسر فــي هي الأعداد { : } { : } ّ k k ω k ∈ ∆ ∪ ∈ ∆ ω k جدير بالذكر ( ) i 6 ً أقطاب بسيطة، إذن فــي X( ) ℂ π exp = ω و {1,2,4,5} = ∆. وهي كلا يلي مـــا ، F X X ( ) ( ) ∈ ℝ أنه ّ يمكننا أنه نكتب، بعــد ملاحظة 2 ( ) ( ) ( ) 1 k k k k k k k k k k k k k k a a F X X X a a X a a X X ω ω ω ω ω ω ∈∆ ∈∆     = +         − −  + − −    =      − + +    ∑ ∑ ak ُيحسب المجموعة بالصيغة 7 3 1 8 4 k k k a ω ω = + . وعندئذ 2Re( ) 2Re( ) 2Re( ) 1 1 1 3 2 3 4 1 2 1 0 4 1 4 1 0 4 1 1 5 3 2 3 4 k k k k k ω a a ω − − − − − − − ّ َ ومـــن ثـــم 1 1 1 1 1 1 2 3 4 2 3 4 4 4 2 2 2 2 ( ) 3 1 3 1 1 1 X X F X X X X X X X X X − + + = + + + − + + + − + + + 398 الحقول حالة الكسر 2 1 ( ) ( 1) n n F X X = − ة مـــن التمرين ّ . هذه حالة خاص 1. إذ نجد 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 1 1 ( 1) 2 ( 1) 2 ( 1) ( 1) ( 1) n k n k n n n n k n n n k n k n k k k k C C X X X − − − − − − − − − = = − − = + − − + ∑ ∑ حالة الكسر 2 4 2 ( ) 2cos 1 X F X X Xα = − + . فــي α π π ∈ + ℝ ℤ 2 ( ) مع ، الحقيقة لدينا 2 2 4 2 2 i 2 i i i 2 i 2 i ( ) 2cos 1 ( )( ) 1 2isin X X F X X X X e X e e e X e X e α α α α α α α α − − − = = − + − −     =  −     − −    ولكن، بوضع 2 = β α، والاستفادة مـــن كون i i i 2 i i i i i i 2 i i i 1 , 2 1 2 e e e X e X e X e e e e X e X e X e α β β α β β α β β α β β − − − − − −     =  −    − − +         =  −    −  − +    نستنتج i i i i i i i i i i i i i i i i 2 2 1 ( ) 4isin 1 4isin 1 4cos 2cos 1 2cos 1 e e e e F X X e X e X e X e e e e e X e X e X e X e X X X X X X β β β β β β β β β β β β β β β β α α β β β − − − − − − − −     =  − − +     − + − +        =  − − +     − − + +        = −        − + + +  ا فــي حالة ّ ببساطة فلدينا α π π ∈ + 2 ℤ أم 2 2 2 2 2 2 1 1 ( ) ( 1) 1 ( 1) X F X X X X = = − + + + . تمرينات 399 حالة الكسر 7 3 2 2 5 ( ) ( 2) ( 1) X F X X X X + = + + + نضع . 2 + = X T فــيحدث لدينا 7 3 2 2 3 2 ( 2) 5 ( ) ( ) ( 3 3) ( ( )) T A T F X T T T T B T − + = = − + جدير بالذكر 7 2 3 4 5 6 7 2 2 2 3 4 ( ) ( 2) 5 123 448 672 560 280 84 14 ( ) 3 3 ( ( )) 9 18 15 6 A T T T T T T T T T B T T T B T T T T T = − + = − + − + − + − + = − + = − + − + المرتبة ّ 2 وبإجراء قسمة وفق القوى التي تزداد حتى 2 لكثير الحدود ( )T A علــى نجد (( ) ) B T 2 3 A T B T Q T T R T ( ) ( ( )) ( ) ( ) = + جدير بالذكر 2 2 3 4 41 202 ( ) 7 3 9 46 80 176 ( ) 7 3 3 9 Q T T T R T T T T T = − + − = − + − + ة لكثير الحدود ّ ً نلاحظ بإجراء قسمة إقليدي 2 وأخيرا ّ أنه B T( ) علــى R T B T ( ) ( ( )) − ( ) 2 14 5 ( ) ( ( )) 9 3 R T B T B T T T     − = − + −         ّ وهكذا نكون قد أثبتنا أنه 2 3 2 14 5 ( ) ( ( )) ( ) ( ( )) ( ) 9 3 A T B T Q T T B T B T T T      = +  + − + −               ّ َ ومـــن ثـــم 14 5 9 3 3 2 3 2 14 5 9 3 2 3 2 ( ) ( ) ( ) 1 ( ( )) ( ) ( ( )) 7 202 41 1 9 3 ( ) ( ( )) A T Q T T T F X T B T T B T B T T T T B T T T B T − − = = + + + − − = − + − + + 400 الحقول ل ّ وبعودة مرة أخرى إلــى المتحو X نجد 202 41 4 1 9 3 9 3 2 3 2 2 2 7 ( ) 1 2 ( 2) ( 2) 1 ( 1) X X F X X X X X X X X + + = − + − − − + + + + + + + حالة الكسر 2 4 2 2 4 ( ) ( 1) ( 1) X X F X X X X − + = − + + . نضع 1 − = X T فــيحدث لدينا 2 4 2 2 3 2 4 ( ) ( ) ( 3 3) ( ( )) T T A T F X T T T T B T + + = = + + جدير بالذكر 2 2 2 2 3 4 ( ) 4 ( ) 3 3 ( ( )) 9 18 15 6 A T T T B T T T B T T T T T = + + = + + = + + + + المرتبة ّ 2 وبإجراء قسمة وفق القوى التي تزداد حتى 3 لكثير الحدود ( )T A علــى نجد (( ) ) B T 2 4 A T B T Q T T R T ( ) ( ( )) ( ) ( ) = + جدير بالذكر 2 3 2 3 4 7 25 23 ( ) 9 9 27 27 17 113 23 ( ) 8 3 27 27 Q T T T T R T T T T = − + − = + + + ة لكثير الحدود ّ ّ أنه ً نلاحظ بإجراء قسمة إقليدي B T( ) علــى R T( ) وأخيرا 44 23 7 5 ( ) ( ) 27 9 T T R T B T =      + +   +          ّ وهكذا نكون قد أثبتنا أنه 2 4 44 23 7 5 ( ) ( ( )) ( ) ( ) 27 9 T T A T B T Q T T B T = +        + +   +               تمرينات 401 ّ َ ومـــن ثـــم 44 23 7 5 27 27 9 9 4 2 4 2 44 23 7 5 27 27 9 9 2 3 4 2 ( ) ( ) ( ) ( ( )) ( ( )) ( ) 23 25 7 4 27 27 9 9 ( ) ( ( )) A T Q T T T F X T B T T B T B T T T T T T T B T B T + + = = + + + + = − + − + + + وبعودة مرة أخرى ل ّ إلــى المتحو X نجد 23 25 7 4 27 27 9 9 2 2 2 7 23 2 5 9 27 9 9 2 2 2 ( ) 1 ( 1) ( 1) ( 1) 1 ( 1) F X X X X X X X X X X X = − + − + − − − − + + + + + + + + حالة الكسر 0 ! ( ) ( 1) ( ) n n k k F X X X X k = = ∑ + + ⋯ لاً ّ أنه . ّ نلاحظ أو 0 ! ( 1) ( ) k p k p k A X X X k X p = = + + ⋯ ∑ +  ونعين الثابت p Ak بالعلاقة ! ( ) ( 1) ( ) ! ( )(1 ) ( 1)(1)(2) ( ) ( 1) ! ( 1) !( )! p k X p p p p k k A X p X X X k k p p k p k C p k p ←−   = +    + +    = − − − − − = = − − ⋯ ⋯ ⋯ إذن 0 ! ( 1) ( 1) ( ) k p p k p k C X X X k X p = − = + + + ⋯ ∑ 402 الحقول ّ َ ومـــن ثـــم 0 0 0 0 0 ! ( 1) ( ) ( 1) ( ) ( 1) ( 1) n n k p p k n k k p p p n n p k p k p k n p k p k C F X X X X k X p C C X p X p = = = ≤ ≤ ≤ = =  −    = =      + + +     −   −   = =      + +     ∑ ∑ ∑ ∑ ∑ ∑ ⋯ ولكن ( ) 1 1 1 1 1 n n p p p p k k k n k p k p C C C C + + + + + = = ∑ ∑= − = إذن 1 1 0 ( 1) ( ) n p p n n p C F X X p + + = − = ∑ + وهي النتيجة المطلوبة. ú Jالتمرين .3 احسب المشتق مـــن المرتبة n ٍ لكـــل مـــن الكسور الالعودةية المقبلة مـــن X( ) ℂ : 2 2 1 1 1 , , X X X m ( 1) ( ) + + ⋯ X X X X − + − − 2cos 1 2sh 1 α α الحـل حالة الكسر 1 ( ) ( 1) ( ) F X m X X X m = + + ⋯ ّ . وجدنا فــي التمرين السابق أنه 0 1 1 ( 1) ( ) ( 1) ( ) ! m p p m m p C F X X X X m m X p = − = = + + + ⋯ ∑ ّ َ ومـــن ثـــم ( ) ( ) ( ) 0 1 0 1 1 ( ) ( 1) ! ! ( 1) ! n n m p p m m p m p n p m n p F X C m X p n C m X p = + + =   = −      +    − = + ∑ ∑ حالة الكسر 2 1 ( ) 2cos 1 F X X Xα = − + ّ . مـــن الواضح أنه جدير بالذكر ] 0,[ ∋ π α تمرينات 403 i i i i 1 1 1 1 ( ) ( )( ) 2isin F X X e X e X e X e α − α α α − α   = = −       − −  − −  ّ َ ومـــن ثـــم ( ) ( ) ( ) i i i 1 i 1 i 1 i 1 2 1 1 1 1 ( ) 2isin 1 ( 1) ! ( 1) ! 2isin ( ) ( ) ( 1) ! ( ) ( ) 2isin ( 2cos 1) n n n n n n n n n n n F X X e X e n n X e X e n X e X e X X α α α α α α α α α α − + − + − + + +             =   −            − −          − −    =  −     − −    − − − −     =      − +    ولكن 1 i 1 i 1 1 1 0 ( ) ( ) 2i ( 1) (sin ) n n n k k n k n k X e X e C k X α α α + − + + + − + = − − − = − ∑ إذن ( ) 1 1 1 1 1 2 1 sin ! ( 1) sin ( ) ( 2cos 1) n n n k k n k k n n k n C X F X X X α α α + + − + − = + + ⋅ − = − + ∑ حالة الكسر 2 1 ( ) 2sh 1 F X X Xα = − − ّ . مـــن الواضح أنه 1 1 1 1 ( ) ( )( ) 2ch F X X e X e X e X e α −α α α −α   = = −       − +  − +  ّ َ ومـــن ثـــم ( ) ( ) ( ) ( ) 1 1 1 1 2 1 1 1 1 ( ) 2ch 1 ( 1) ! ( 1) ! 2ch ( ) ( ) 1 ! ( ) ( ) 2ch ( 2sh 1) n n n n n n n n n n n F X X e X e n n X e X e n X e X e X X α α α α α α α α α α − + − + − + + +             =   −            −   +        − −    =  −     − +    −  + − −    =      − −    ة. ّ وهي النتيجة المرجو ú 404 الحقول بس ّ ط كـــلاً مـــن الكسور الالعودةية المقبلة: ّ Jالتمرين .4 0 0 1 0 1 , ( )( 1) 1 , ( )( 1)( 2) 2 , ( 2 )( 2 ) n k n k n k k k k X k X k X k X k X k X X = = + = + + + + + + + + + + ∑ ∑ ∑ الحـل حالة اموع 0 1 ( ) ( )( 1) n n k S X X k X k = = ∑ + + + ّ . نلاحظ أنه 0 1 1 ( ) 1 1 1 1 1 ( 1) n n k S X X k X k n X X n X X n =   =  −     + + +    + = − = + + + + ∑ حالة اموع 0 1 ( ) ( )( 1)( 2) n n k S X X k X k X k = = ∑ + + + + + ّ . نلاحظ أنه 0 1 1 1 ( ) 2 ( )( 1) ( 1)( 2) 1 1 1 2 ( 1) ( 1)( 2) 2( 1) ( 1)( 2) 2 ( 1)( 1)( 2) n n k S X X k X k X k X k X X X n X n n X n n X X X n X n =   = −      + + + + + + +      =  −     + + + + +    + + + + = + + + + + ∑ حالة اموع 1 0 2 ( ) ( 2 )( 2 ) n k n k k k S X X X + = = + + ∑ ّ . نلاحظ أنه 1 0 1 1 1 1 1 ( ) 2 2 1 1 2 1 1 2 ( 1)( 2 ) n n k k k n n n S X X X X X X X + = + + +   = −         + + − = − = + + + + ∑ ة. ّ وهي النتيجة المرجو ú تمرينات 405 Jالتمرين .5 حلّل إلــى عناصر بسيطة فــي X( ) ℝ الكسر الالعودةي الآتي 3 2 2 4 2 1 ( ) ( 1) ( 1) X X F X X X + + = − + الحـل ّف نعر ً لاً حديثا ّ 2 متحو وأنه ، ّ ) 1 )(1 (2 X X T + − = − أنه ونلاحظ ، ّ T X = + 1 2 3 2 2 2 2 2 ( 1) ( 2 1) ( 2 )( 1) (2 1) 2 2 (2 1) 2 2 2 ( 2) ( 1) 2( 1) X X X T X XT X XT X X T X X XT T X T T X X T X T X + + + = + + + = + + + + + = + + − + + − = + + + + − ّ َ ومـــن ثـــم 3 2 2 4 4 2 2 1 ( ) ( ) ( 1) ( 1) (2 ) X X A T X F X X X T T + + = = − + − فنا ّ 2 وقد عر ( ) ( 2) ( 1) 2( 1) . A T X T X T X X = + + + + − X T A ُ ري فــي فــي نج T X( )[ ] ℝ قسمة وفق القوى التي تزداد لكثير الحدود ( ) علــى 2 T− ) 2 (حتى ّ المرتبة الثالثة فنجد أنه 2 4 ( ) (2 ) ( ) ( ) A T T Q T T R T X = − + X X جدير بالذكر ( ) 2 3 2 1 3 1 7 3 11 7 ( ) 2 4 8 16 1 15 11 ( ) (30 22) (11 7) ( 1) 16 16 X X X X X X Q T T T T X R T X X T X − − + + = + + + − = + − + = + وعندئذ يحدث لدينا 4 2 2 3 4 2 ( ) ( ) ( ) (2 ) 1 1 3 1 7 3 11 7 1 15 11 2 4 8 16 16 ( 1) Q T R T X X F X T T X X X X X T T T T X = + −   − − + +   − =  + + +  + ⋅     − 406 الحقول أو 4 3 2 2 1 3 1 7 3 11 7 1 4 11( 1) ( ) 2 4 8 16 16 ( 1) X X X X X F X T T T T X − − + + − − = + + + + ⋅ − ً وأخيرا 1 1 3 1 7 3 11 7 1 11 2 2 4 4 8 8 16 16 4 16 2 4 2 3 2 2 2 2 ( ) ( 1) ( 1) ( 1) 1 ( 1) 1 X X X X F X X X X X X X − − + + = + + + + − + + + + − − ة. ّ وهي النتيجة المرجو ú . αk = exp( 2i n πk ℕ كنيول، k مـــن ℕ . نضع ( ∗ Jالتمرين .6 كنيل n مـــن أنه ّ  ق تحق 1 1 1 1 n n n k k nX X X α − = = ∑ − − ّوأنه 1 1 n k n k k n X X α α = = ∑ − − : اختصر اموعين ( ) 3 2 1 ( ) n k k X F X = X α = ∑ − و ( ) 2 2 2 2 1 ( ) n k k k k X X G X X α α α − + = − + = ∑ − . الحـل ً مـــن n ّ . إن أقطاب الكسر ليكن P كثير حدود مـــن x[ ] ℂ درجته أصغر تمـــامـــا ( ) ( ) 1 n P X F X X = − 1 هي الأعداد , , α α … n وهي أقطاب بسيطة. إذن توجد أعداد 1 2 , , , n … λ λ λ فــي ℂ ق ُ تحّق 1 ( ) ( ) 1 n k n k k P X F X X X λ = α = = − ∑ − ويت الثابت k عين ُ ّ λ بالعلاقة 1 ( ) 1 ( ) k k k k n k P P n n α λ α α α − . = = تمرينات 407 ّ َ ومـــن ثـــم 1 ( ) 1 ( ) [ ], deg 1 n k k n k k P X P P x P n X n X α α = α ∀ ∈ < ⇒ = − ∑ − ℂ 1 وبأخذ ( ) n P X nX − نجد P X n ( ) = و= 1 1 1 1 , 1 1 n n n k n n k k k k nX n X X X X α α α − = = = = − ∑ − − ∑ − ّ أنه نلاحظ 3 3 2 1 1 1 2 2 1 1 3 2 2 1 1 2 1 ( ) ( ) ( 1) ( 1) 1 ( 1) ( 1) ( 1) n n k k k k n n n n n n n n n X F X X X X nX n X n n X X X X X nX n n X X = α = α − + + + + ′     = = −      −  −    ′     − − − = − =      − −    + − = − ∑ ∑ ّ وأنه ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 1 2 2 2 2 2 1 1 2 2 2 1 1 1 2 2 2 2 2 ( ) ( ) 1 ( ) ( ) 1 1 1 ( 1 ) n k k k k n n k k k k k n n k k k k k n n n n X X G X X X X X X X X X X nX n X X X X X n n n α α α α α α α α α α α α α α α α − + = − = = − = = − − − − + = − = ⋅ + − ⋅ − − ′ ′         = −   − −          −   −       ′ ′       = − − −            − −   + − − = ∑ ∑ ∑ ∑ ∑ 1 2 2 ( 1) n n n X n X X α − + − ة. ّ وهي النتيجة المرجو ú 408 الحقول حدود غير خزول فــي X[ ] ℚ ُ . ثـــم ُ − = X P هـــو كثير 3 أثبت أنه كثير الحدود 2 ّ Jالتمرين .7 صف الحقل ِ ً أنه يمكن تزويد اموعة نا ℚ بقانوني تشكيل داخليين ⊕ 3 P X( ) /[ ]ℚ. مبي و ⊗ بجدير بالذكر يصبح التطبيق 3 2 ϕ → : [ ]/( ),( , , ) [ ℚ ℚ X P a b c a bX cX ֏ + + ] .ً اليةة تحسب مقلوب عنصر غير ً حقليا 3 تشاكـــلاً لفــي الحق صفري تقابليا ⊗ ⊕ ℚ ) , , ( ؟ الحـل − = X P تساوي 3 فإذا كان خزولاً فــي x[ ] ℚ ه قاسمكان ل 3 إن درجة كثير الحدود 2 ّ َ مـــن الدرجة الأولى فــي x[ ] ℚ ً ، وق ، جذرا ّ َ ، مـــن ثـــم َ بل ρ ينتمي إلــى ℚ. وهذا يقتضي أنه يحدث المجموعة 3 ً 2 ا ّ ً العودةي لف ٌ صارخ مجموعةا . إذن ℚ .     ، وهذا خ P كثير حدود غير خزول فــي X ُ ٌ لنكود بالكود α إلــى صف التكافؤ X [ ] فــي الحقل P X( ) /[ ]ℚ = K يحدث لدينا عندئذ . ّ بملاحظة أنه 3 2 = α فــي K مـــا يلي : 2 2 2 (a b c a b c A B C + + + + = + + α α α α α α )( ′ ′ ′ ) جدير بالذكر 2 2 , 2 , . A aa bc cb B ab ba cc C ac bb ca = + + ′ ′ ′ = + + ′ ′ ′ = + + ′ ′ ′ فنا علــى ّ 3 فإذا عر ℚ قانوني التشكيل ⊕ و ⊗ بالعلاقتين : ( , , ) ( , , ) ( , , ) ( , , ) ( , , ) ( 2 2 , 2 , ) a b c a b c a a b b c c a b c a b c aa bc cb ab ba cc ac bb ca ⊕ = + + + ′ ′ ′ ′ ′ ′ ⊗ = + + + + + + ′ ′ ′ ′ ′ ′ ′ ′ ′ ′ ′ ′ َف ّ التطبيق عر ( ) 3 2 ϕ ⊕ ⊗ → : , , ,( , , ) ℚ K a b c a b c ֏ + +α α ً تشاك ا ّ .ً لاً حقلي ا ّ تقابلي عطى ُ وي 1 ( , , ) a b c − العنصر مقلوب ُ مـــن ) , , ( a b c 3 {(0,0,0)} ℚ بالعلاقة 2 2 2 3 3 3 3 3 3 3 3 3 2 2 , , 2 4 6 2 4 6 2 4 6 a bc c ab b ac a b c abc a b c abc a b c abc  − − −         + + − + + − + + −    ً جدير بالذكر للقارئ.  نترك التحــقق مـــن ذلك تمرينا ú تمرينات 409 2F يحدث 0 بين أنه فــي حقل مـــنته K مختلف عن ّ .8 التمرينJ x x ∈ ∑ = K . الحـل q = card( ) K أنه لنفترض ّ ّ . نعلم أنه K عناصر q هي جذور كثير الحدود − X X. ويساوي مجموع هذه َل ث َ X 1 q الجذور نظير م ّ فــي كثير الحدود هذا. و ا − ّلأنه q − >1 1 لـم كان K F ≠ 2 ّ استنتجنا أنه هذه أي ،الأمثال معدومة 0 x x ∈ ∑ = K ú . .مجموعة فردي ّ أثبت أنه ّ n و F2 Jالتمرين .9 ليكن a و b عنصرين مـــن n 2 2 a ab b a b + + = ⇒ = = 0 0 الحـل 2 ليكن a و b عنصرين مـــن ُيحق قان F n 0 = + + b ab a. ولنناقش الحالتــين :الآتيتين 2 2 فــي حالة =/ b a، يحدث بالمـــن الضروري 0 =/ b ّ ، لأنه 0 = b يقتضي 2 a = 0 ّ َ ومـــن ثـــم 0 = a وهذا يناقض كون =/ b a ف إذن ّ 1 . نعر مختلف عن −ab x ٌ = ٌ وهـــو عنضر 1 2 فــي ً إلــى الفرض n F ُويحقق استنادا 2 يحدث x x + + =1 0 ّ َ ومـــن ثـــم 3 x ≠ 1 و x = 1 إذن رتبة العنصر x ة ّ 2 فــي الزمرة الضربي n} 0 {n F تساوي 3 ، والمجموعة 3 يقسم 1 2 . − ولكن ) 2 ( 1) 1mod3 n n ٌ مجموعة ) − = − = ⇒ n فردي ناقض كون وهذا ي 3mod1 2 n = . وهذه الحالة لا يمكن أنه تقع. ّ أنه يحدث د ُ ّ فنستنتج عندئذ أنه إذن لا ب = b a 2 ز للحقل = a 0 3 ّ ولأنه المجموعة الممي 2 ّ نتج مـــن ذلك أنه 2 هـــو F n 2 ú .a b = = 0 يحدث ومـــنه a = 0 . p ً ل  عنصر مـــن كـــل K مـــن المرتبة جذرا َ ِ ب َ ق K F = p Jالتمرين .10 أثبت أنه إذا كان n الحـل n ً p فــي الحقيقة، إذا كان x مـــن عنصرا ّ F فنا عر n 1 p y x − = . وعندئذ يحدث n p p .y x x = = إذن y مـــن المرتبة ٌ هـــو جذر p للعنصر x. ú 410 الحقول فردي. أثبت أنه ال رعنص a ّ مجموعة أولي ّ p و q p = n مع K F = q Jالتمرين .11ليكن الحقل مـــن ∗ ً إذا وفقط إذا كان ً تربيعيا K يقبل جذرا ( 1)/2 1 q a − . = الحـل ّن العنصر a مـــن لنفترض أ ∗ ً b ّ ، أي أنه ا ّ ً تربيعي K يقبل جذرا 2 b فــيحدث .b a = ً مـــن ∗ عنصرا K، ويحدث ( 1)/2 1 1 q q a b − − . = = اوبالعكس، ّ كانت لـم ( , ) ∗ K ⋅ ً ارة، اخترنا عنصرا ّ ∗ زمرة دو z مـــن ً K اليةذه يحدث مولدا ُيح الزمرة. فــيوجد k ق ق k ّ = z a ا. و كان لـم ( 1)/2 1 q a = كان − ( 1)/2 1 k q z = أي − k q( 1)/2 − إن ّ ّ مـــن مضاعفات رتبة z أي 1 − q أنه يحدث د ُ ً . فلا ب k : ا ّ ً زوجي مجموعةا b z = والمجموعة .k = 2ℓ ℓ للمجموعة  تربيعي ٌ ú .a جذر a و ℕ ∗ ، وليكن مجموعة أولي k مـــن ّ p و q p = n جدير بالذكر K F = q Jالتمرين .12 ليكن الحقل مـــن ∗ K التكافؤ أثبت صحة . ( ) ( 1)/ , 1 q d k b a b a ∗ − ∃ ∈ = ⇔ = K فنا ّ . d q k = − gcd( 1, ) عر وقد الحـل ا ّ جدير بالذكر k d = ℓ و q d − =1 λ أنه استنتجنا ّ d q k = − gcd( 1, ) لـم كان . gcd( , ) 1 λ ℓ = ّن العنصر a مـــن لنفترض أ ∗ ّن ً b مـــن المرتبة k إ، أي K يقبل ج ذرا k فــيحدث .b a = ً b مـــن عنصرا ∗ K، ويحدث ( 1)/ 1 ( ) 1 q d k d q a b b b − λ λ − = = = = ℓ ℓ . اوبالعكس، ّ كانت لـم ( , ) ∗ K ⋅ ً ارة، اخترنا عنصرا ّ ∗ زمرة دو z مـــن ً K اليةذه يحدث مولدا ُيح الزمرة. فــيوجد r ق ق r ّ = z a ا. و كان لـم ( 1)/ 1 q d a = كان 1 − r z λ ّ أي إن = ُيحّق rλ مـــن مضاعفات رتبة z أي λ 1 =− d q. وعلــىه يوجد مجموعة ′ r ق .وعلــىه r dr = ′ dr a z ′ . = d vk u q = + − ( 1) قيحُ قان v و u ذنإ يوجد d q k = − gcd( 1, ) ،ولكن ّ َ ومـــن ثـــم 1 ( ) d vk q u vk z z z z − ( ) يحدث وعلــىه .= = dr vkr vr k a z z z ′ ′ ′ = = = والمجموعة vr b z ′ ٌ = مـــن المرتبة ú .a للمجموعة k جذر تمرينات 411 .ℕ ∗ k مـــن ّ = p q و p ، وليكن ع دد أولي n جدير بالذكر K F = q Jالتمرين .13 يكن الحقل ل أثبت صحة التكافؤ ( , , ) gcd( 1, ) 1 k a b a b q k ∗ ∗ ∀ ∈ ∃ ∈ = ⇔ − = K K الحـل لنضع ( 1, )gcd − = k q d. بالاستفادة مـــن التمرين السابق لدينا ( ) ( ) ( 1)/ , , , 1 q d k a b a b a a ∗ ∗ ∗ − ∀ ∈ ∃ ∈ = ⇔ ∀ ∈ K K K = فإذا كان 1 = d ق الشرط تحق 1 , 1 q a a ∗ − ( , ) لأنهّ K ∀ ∈ = رتبة الزمرة ∗ ⋅ K هي .q − 1 وإذا كان ( 1)/ , 1 q d a a ∗ − ارة a اخترنا ، ∋ ∀ K = ّ مولد للزمرة الدو ّ ∗ أي ( , ) ، K ⋅ ّ ة الماضية أنه فن المجموعة ّ ستنتج مـــن المعلن − d q /)1 ( هـــو أحد مضاعفات المجموعة 1 − q، ّ ّ أنه َ ومـــن ثـــم 1 = d. بذا نكون قد أثبتنا التكافؤ المطلوب. ú Fp إذا وفقط إذا كان m يقسم n. حقل جزئي n ّ Fp مـــن أثبت أنه m ّ Jالتمرين .14 الحـل إذا كان m p ً ّ F مـــن ا حقلاً n جزئي p F كانت الزمرة m ) ,( p ∗ ⋅ F ة مـــن ّ زمرة جزئي n ) ,( p ∗ ⋅ F وكان ّ َ مـــن ثـــم 1 m 1 ً − p للمجموعة قاسمـــا n ُ − p أنه يحدث د ولا ب |n m. ّ وبالعكس، لنفترض أنه |n m الحدود ُ mp عندئذ يقسم كثير الحدود X X − َ كثير n p − X X. إذن تنتمي كل جذور mp n الحقل إلــى X X − p m فالحقل .F p F ٌ حقل p جزئي مـــن n ú .F 2F ه لإنشــاء ستعملوا ، أثبت أنه 1 + + 3 4 X X كثير حدود غير خزول فــي X[ ] ّ Jالتمرين .15 نا 16F ً جداول الجمع والضرب فــي ّ ُ 16F ، معي ً بعــد أنه تقترح تمثيلاً لعناصره. م ناسبا 412 الحقول الحـل مـــن الواضح أنه ليس لكثير الحدود 4 3 فــي P X X X ( ) = + + 1 ٌ 2 جذور F . فإذا كان َي حدود غير خزولَين مـــن الدرجة الثانية. ولكن فــي كثير َ ُكتب جداء 2 خزولاً وجب أنه ي F [ ] x 2 تجد هناك كثير حدود غير خزول وحيد مـــن الدرجة الثانية هـــو 1 + + X X. وعلــىه إذا كان ( )X P خزولاً وجب أنه يحدث 2 2 4 2 P X X X X X ( ) ( 1) = + + = + + 1 د أنه يحدث ُ لف. إذن لا ب ٌ ُ 2 وهذا خ ( )X P غير خزول فــي . F [ ] x 2 إذن مجموعة ُ F [ ]/( ) x P ٌ عناصره حقل 16 ة يحدث ّ وبسبب الوحداني 16 2 . F F = [ ]/( ) x P ّصف ليكن α تكافؤ P x( ) / = [ ]F F . ولنحسب رتبة العنصر α فــي الزمرة 2 16 x [ ] فــي 16 ( , ) ∗ ⋅ F التــي مجموعة عناصرها .15 فــي الحقيقة، لدينا 2 3 2 2 3 3 2 3 3 3 2 2 3 2 3 2 0 1 8 1 9 1 2 10 3 11 1 4 1 12 1 5 1 13 6 1 14 7 1 k k k α k α α α α α α α α α α α α α α α α α α α α α α α α α + + + + + + + + + + + + + + + + + فالعنصر α ة ّ ∗ ( , ) 16 يولد الزمرة الضربي ⋅ F و . يمكن تمثيل عناصر الحقل 16 موعةبا F { } 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 0,1, , , , , , , , , , , , , , α α α α α α α α α α α α α α وفــي هذا التمثيل يحدث x × =0 0 و k ( )mod15 k α α α + × =ℓ ℓ .

شكرا لكم